Geometria Plana II
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Geometria Plana II
Na figura abaixo, qual o valor de x, se BÂC = 70º ? A) 70º B) 60º C) 55º D) 65º E) 75º
Agradeço desde já pela resolução do exercício, desconsiderem as anotações de grafite que não apagaram por completo
Agradeço desde já pela resolução do exercício, desconsiderem as anotações de grafite que não apagaram por completo
leovcara- Iniciante
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Re: Geometria Plana II
Desde que as posições de B e C são desconhecidas, faltam elementos. Para perceber isso, mude a posição de um dos dois e o ângulo procurado irá se alterar.
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In memoriam - Euclides faleceu na madrugada do dia 3 de Abril de 2018.
Lembre-se de que os vestibulares têm provas de Português também! Habitue-se a escrever corretamente em qualquer circunstância!
O Universo das coisas que eu não sei é incomensuravelmente maior do que o pacotinho de coisas que eu penso que sei.
Euclides- Fundador
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Re: Geometria Plana II
A solução vale para qualquer posição de B e C (informação desconhecida)
Para facilitar vamos fazes AB = AC, isto é, ABC é isósceles
Seja E o ponto de tangência do prolongamento de AB: trace OE
Seja U o ponto de tangência do prolongamento de AC: trace OU
Seja T o ponto de tangência de BC com a circunferência
A^BC = A^CB = 55º ---> C^BE = 125º ---> O^BC = 125/2 = 62,5º
Idem ---> O^CB = 62,5º
Nos triângulos retângulos OTB e OTC ---> BÔT = 90º- 62,5º ---> BÔT = 27,5º ---> idem CÔT = 27,5º
BÔC = BÔT + CÔT ---> x = 27,5º + 27,5º ---> x = 55º
Para facilitar vamos fazes AB = AC, isto é, ABC é isósceles
Seja E o ponto de tangência do prolongamento de AB: trace OE
Seja U o ponto de tangência do prolongamento de AC: trace OU
Seja T o ponto de tangência de BC com a circunferência
A^BC = A^CB = 55º ---> C^BE = 125º ---> O^BC = 125/2 = 62,5º
Idem ---> O^CB = 62,5º
Nos triângulos retângulos OTB e OTC ---> BÔT = 90º- 62,5º ---> BÔT = 27,5º ---> idem CÔT = 27,5º
BÔC = BÔT + CÔT ---> x = 27,5º + 27,5º ---> x = 55º
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: Geometria Plana II
Acho que não.Elcioschin escreveu:A solução vale para qualquer posição de B e C (informação desconhecida)
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In memoriam - Euclides faleceu na madrugada do dia 3 de Abril de 2018.
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Euclides- Fundador
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Re: Geometria Plana II
Vou corrigir minha frase:
A solução vale para qualquer posição de B e C, desde que BC tangencie a circunferência
A solução vale para qualquer posição de B e C, desde que BC tangencie a circunferência
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71795
Data de inscrição : 15/09/2009
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Localização : Santos/SP
Re: Geometria Plana II
Acordei da minha letargia... abração.Elcioschin escreveu:Vou corrigir minha frase:
A solução vale para qualquer posição de B e C, desde que BC tangencie a circunferência
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In memoriam - Euclides faleceu na madrugada do dia 3 de Abril de 2018.
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Euclides- Fundador
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Data de inscrição : 07/07/2009
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Re: Geometria Plana II
Muito obrigado aos mestres que solucionaram a questão com tal rapidez
leovcara- Iniciante
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Re: Geometria Plana II
De qualquer modo, dá para provar para uma posição qualquer de B e C:
Sejam y = A^BC e z = A^CB, E, U, os pontos de tangência de ABE e ACU e T o ponto de tangência de BC com a circunferência
y + z + Â = 180º ---> y + z + 70º = 180º ---> y + z = 110º
E^BT = 180º - y ---> O^BT = E^BT/2 ---> O^BT = 90º - y/2 ---> BÔT = y/2
U^CT = 180º - z ---> O^CT = U^CT/2 ---> O^CT = 90º - z/2 ---> CÔT = z/2
BÔC = BÔT + CÔT ---> x = y/2 + z/2 ---> x = (y + z)/2 ---> x = 110º/2 ---> x = 55º
Sejam y = A^BC e z = A^CB, E, U, os pontos de tangência de ABE e ACU e T o ponto de tangência de BC com a circunferência
y + z + Â = 180º ---> y + z + 70º = 180º ---> y + z = 110º
E^BT = 180º - y ---> O^BT = E^BT/2 ---> O^BT = 90º - y/2 ---> BÔT = y/2
U^CT = 180º - z ---> O^CT = U^CT/2 ---> O^CT = 90º - z/2 ---> CÔT = z/2
BÔC = BÔT + CÔT ---> x = y/2 + z/2 ---> x = (y + z)/2 ---> x = 110º/2 ---> x = 55º
Elcioschin- Grande Mestre
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