Sequência

por Havock44 Ter 23 Fev 2016, 01:33

Questão:Mostre que não existe uma progressão aritmética infinita cujos termos são todos quadrados perfeitos

obs: Minha dúvida está no fato de existir uma progressão aritmética de segunda ordem ''k²'' em que k é um número natural(soma dos naturais²) e, o exercício pedir para provarmos exatamente o contrário.

por vladimir silva de avelar Ter 23 Fev 2016, 06:59

suponha que exista tal PA, e sua razão seja r.
Então, teríamos 3 termos da forma

(k - r)² , k², (k + r)²
fazendo a diferença de termos consecutivos:
k² - (k - r)² = (k + r)² - k²
k² - k² + 2kr - r² = k² + 2kr + r² - k²
2kr - r² = 2kr + r²
2r² = 0
r = 0
note que faltou alguma restrição no seu enunciado, pois as seguintes PA são infinitas e todas os seus termos são quadrados perfeitos:
(1, 1, 1, 1, ...)
(4, 4, 4, 4, ...)
e assim por diante Wink

por vladimir silva de avelar Ter 23 Fev 2016, 07:03

Quanto à sua dúvida, eu não entendi muito bem. O fato de existir essa PA de "segunda" ordem não necessariamente implica que exista uma PA de "primeira" relacionada a ela tal que as condições do enunciado sejam atendidas (mais uma vez vale lembrar desse caso onde a razão é 0).