Polinômio - (cubo perfeito)

por Carolziiinhaaah Sáb 04 Dez 2010, 19:07

Achar as condições que devem ser verificadas para que ax^3 + bx^2 + cx + d seja um cubo perfeito.

gabarito: b^3 = 27 (a^2)d

por Diogo Sáb 04 Dez 2010, 21:07

Se o polinômio é cubo perfeito, então ele pode ser escrito da seguinte forma:

$ax^3 + bx^2 + cx + d =(ex+f)^3$

Resolvendo o segundo membro e, depois, pela igualdade de polinômios, obtemos que:

$e^3=a\rightarrow e=\sqrt[3]{a}(I)$

$3e^2.f=b\rightarrow f=b/3e^2(II)$

$f^3=d(III)$

Substituindo (I) e (II) em (III), fica:

$(b/3\sqrt[3]{a^2})^3=d\rightarrow \mathbf{b^3=27a^2.d}$