cubo e quadrado perfeito

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Resolvido cubo e quadrado perfeito

Mensagem por marcelindo3301 em Sex 27 Jul 2018, 23:31

Qual é o menor número natural z ≠ 0, tal que z*540² seja, simultaneamente, um cubo e um quadrado perfeito?


Última edição por marcelindo3301 em Sex 27 Jul 2018, 23:47, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: cubo e quadrado perfeito

Mensagem por PedroX em Sex 27 Jul 2018, 23:43

540 = 2*270 = 2*3*90 = 2*3*3*3*2*5 = 2² * 3³ * 5
540² = 2^4 * 3^6 * 5²

Analisando 540², vemos que a base 5 está com um problema, pois 5² forma um quadrado perfeito, mas não um cubo perfeito. A base 3 está ok, forma tanto cubo quanto quadrado perfeito. E a base 2 precisa ser ajustada também para formar um cubo perfeito.

Tendo apenas fatores primos em questão, é fácil ver a independência entre eles. Portanto, precisamos apenas ajustar os expoentes.

Para a base 2 ser ajustada, precisamos multiplicar por 2², de forma a obter 2^6. Para a base 5 ser ajustada, precisamos multiplicar por 5^4.

Portanto, ao todo, precisamos multiplicar por 4*625=2500.

Z=2500

Note que assim teremos um número igual a 2^6 * 3^6 * 5^6, cuja raiz quadrada é 2³ * 3³ * 5³ e cuja raiz cúbica é 2² * 3² * 5².

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