O som da praça

Na praça de uma cidade (representada num sitema xOy) existem dois conjuntos de auto-falantes, separados de 50 m, um na origem O(0, 0) e o outro no semi-eixo X positivo.
No conjunto da origem existem 2 auto-falantes e no outro 3 auto-falantes, todos iguais.
Sabe-se da Física que a intensidade do som varia proporcionalmente com o quadrado da distância.

Onde uma pessoa deverá colocar-se a fim de que o som dos dois grupos se ouça com a mesma intensidade?

Obs.: Muita atenção nos detalhes!!!

Olá, Elcioschin.

Consideremos os seguintes dados:

x ---> distância da pessoa até os dois auto-falantes

(50-x) --> distância da pessoa até os três auto-falantes

Se a intensidade varia proporcionalmente com o quadrado da distância, então a razão entre a quantidade de auto-falantes deve ser igual a razão entre o quadrado da distância que as separa da pessoa.



Resolvendo essa equação do 2ºgrau encontraremos:

Pensei que era um par ordenado, por isso nao consegui avançar, eis minha tentativa:



Por essa equação x < 23 para que tenhamos valores de y válidos; mas parece que a solução do Tavares esta correta.

Lembrem-se da observação no final do meu enunciado: Não são os "detalhes" do rei Roberto Carlos, mas existem!

O ponto que o Adriano encontrou é o vértice de uma elipse (?) (lugar geométrico procurado) . São intersecções de circunferências de raios que conservam aquela proporção.



será isto?

No conjunto da origem existem 2 auto-falantes e no outro 3 auto-falantes, todos iguais.

Como a intensidade (W/m² = potencia por metro quadrado) não depende da quantidade de auto-falantes, mas sim de sua qualidade (potencia), logo a intensidade de A = intensidade de B. Daí:

sejam:
P(x,y) o ponto onde está o ouvinte;
d₂ = sqrt(x²+y²) , a distância de P até os 2 alto-falantes; e
d₃ = sqrt[(50-x)²+y²] , a distância de P até os 3 alto-falantes.

O ponto com 3 alto-falantes tem potência 3 e a intensidade do som devido a eles irá variar segundo: i₃ = 3/d₃²
Analogamente, a intensidade devido aos 2 alto-falantes irá variar por: i₂ = 2/d₂²
(*)

Queremos: i₂ = i₃ -----> 2/d₂² = 3/d₃²
ou seja,
2/(x²+y²) = 3/[(50-x)²+y²]
de onde,
x² + y² + 200x - 5000 = 0
ou, quadrando o termo em x,
x² + 200x - 5000 + 10 000 - 10 000 + y² = 0
x² + 200x + 10 000 + y² = 15 000
(x+100)² + y² = (50sqrt(6))²

A eq. em vermelho deixa mais evidente que o ouvinte deverá se colocar em qualquer ponto do lugar geométrico definido por uma circunferência com:
centro = (-100 , 0)
raio = 50*sqrt(6) =~ 122,5 m
e que corta as abscissas aprox. em +22,5m e -222,5m.

(*) aqui já fica evidente que não poderíamos ter x=y=0 ou x=50 e y=0. No entanto, quaisquer das duas condições implicariam em o ouvinte estar dentro dos alto-falantes, o que, por enquanto, é uma impossibilidade física.

Obs.: dentro do círculo sobressai o som do grupo de 2 alto-falantes; fora do círculo, sobressai o dos 3 alto-falantes.

obs: minha ultima tentativa esta totalmente equivocada

O Medeiros é o "meu herói"!!

Matematicamente, a resposta parece nos satisfatória; contudo, fisicamente, não, pois segundo esse modo de resolução, comum a todos os cavalheiros, não se é levado em conta a intensidade do som na delimitação dos calculos, isto é, para ondas menos intensas, logicamente, percorrerâo um menor espaço, e não terão o raio matematicamente estipulado; assim como há intensidades limites para o homem, quando abaixo desses valores, devido ao aumento de distância, não serão ouvidos. Uma resposta mais completa deveria levar em consideração a distancia da circunferencia em função da intensidade, pois o som só será ouvido até a intesidade limite.