Simplificar expressão

por Smasher Dom Dez 20 2015, 14:39

$Simplificar expressão Gif.latex?%5Cdpi%7B100%7D%20%5Cfn_jvn%20S%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B1.2%7D+%5Cfrac%7B3%7D%7B2.3%7D+%5Cfrac%7B3%7D%7B3.4%7D+...+%5Cfrac%7B3%7D%7B2009$

Na questão há alternativas da expressão comprimida em uma única fração , mas não disponho destas ou do gabarito, já que essa questão caiu numa prova que fiz ontem :/
Gostaria de saber como desenvolvê-la, se alguém puder citar os passos ou dar qualquer dica seria ótimo! Vlw

por Luck Dom Dez 20 2015, 23:19

S = 3 [ 1/(1.2) + 1/(2.3) + 1/(3.4) + ... + 1/(2009.2010)]
S = 3 ∑[ 1/(k(k+1)) ] , k de 1 a 2009
Podemos quebrar este somatório por frações parciais em :
1/(k(k+1)) = A/k + B/(k+1)
A(k+1) + Bk = 1
k(A+B) + A = 1 ∴ A = 1 , B = -1

S = 3 [ ∑(1/k) - ∑(1/(k+1) ) ] , k de 1 a 2009
S = 3 [ (1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/2009) - (1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/2010) ]
Obtemos uma soma telescópica, note que todos os termos se cancelam, sobrando apenas o primeiro e o último.
S = 3 [ 1 - (1/2010) ]
S = 3(2009/2010)
S = 2009/670

por Smasher Seg Dez 21 2015, 00:46

:O Vlw Luck! Será que há algum material com o qual eu possa aprender a trabalhar melhor com somas que nem nesse caso aqui, que você possa indicar? :/ to precisando melhorar nessa matéria!

por Smasher Seg Dez 21 2015, 18:23

Luck,
Agora que parei para ver melhor, fiquei em dúvida nesta conclusão aqui:
k(A+B) + A = 1 ∴ A = 1 , B = -1

Poderia explicar, por favor?

por Luck Sáb Dez 26 2015, 20:48

Smasher escreveu::O Vlw Luck! Será que há algum material com o qual eu possa aprender a trabalhar melhor com somas que nem nesse caso aqui, que você possa indicar? :/ to precisando melhorar nessa matéria!

Desculpe a demora.. é um assunto bem amplo, mas o que vc precisa saber pra resolver esse tipo de questão é reconhecer uma soma telescópica, a apostila do link abaixo aborda este assunto:
http://poti.impa.br/upload/Aula%2003%20-%20Sequencias.pdf

Smasher escreveu:: Luck,
Agora que parei para ver melhor, fiquei em dúvida nesta conclusão aqui:
k(A+B) + A = 1 ∴ A = 1 , B = -1

Poderia explicar, por favor?

Identidade de polinômios:
k(A+B) + A = 0k + 1 ∴ A + B = 0 ; A = 1