Funções

f(n) = (a1 + a2 + a3 + ... + an)

f(n + 3) = (a1 + a2 + ... + an + a(n+1) + a(n+2) + a(n+3))
f(n + 3) = f(n) + (an + r) + (an + 2r) + (an + 3r)
f(n + 3) = f(n) + 3an + 6r

f(n + 2) = (a1 + a2 + ... + an + a(n+1) + a(n+2))
f(n + 2) = f(n) + (an + r) + (an + 2r)
f(n + 2) = f(n) + 2an + 3r

f(n + 1) = (a1 + a2 + ... + an + a(n+1))
f(n + 1) = f(n) + an + r

f(n + 3) -3f(n+2) + 3f(n+1) - f(n)
f(n) + 3an + 6r -3(f(n) + 2an + 3r) + 3(f(n) + an + r) - f(n)
f(n) + 3an + 6r -3f(n) -6an - 9r + 3f(n) + 3an + 3r - f(n)
0
Com isso
f(n + 3) -3f(n+2) + 3f(n+1) - f(n) = 0

r = razão da PA.
a1, a2,... = termos da PA.
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r
...

valeu fera