Funções

por iowa Dom 26 Nov 2023, 12:47

Sejam as funções reais f e g definidas por:

[latex]f(x)=\sqrt{\frac{x^{3}+x^{2}-x-1}{x-1}}-1[/latex] e [latex]g(x)=\frac{\sqrt{x^{3}+x^{2}-x-1}}{\sqrt{x-1}}-1[/latex]

Sobre as funções f e g, analise as afirmativas a seguir.

I. [latex]D(f)=D(g)[/latex]

II. [latex]Im(g)\subset Im(f)[/latex]

III. O valor mínimo de f é -1

Está correto apenas o que se afirma em

a)I

b)II

c)III

d)I e II

e)II e III

gabarito:

por **Elcioschin** Dom 26 Nov 2023, 13:18

x³ + x² - x - 1 = x².(x + 1) - 1.(x + 1) = (x² - 1).(x + 1) = (x - 1).(x + 1)²

Domínio de f(x) ---> denominador não pode ser nulo ---> x ≠ 1

Simplificando o radicando resta √[(x + 1)²] = |x + 1| - 1

Domínio de g(x) ---> g(x) = |x - 1| - 1 ---> x - 1 ≥ 0 ---> x ≥ 1

I) D(f) ≠ D(g) ---> Falsa

II) A imagem de g(x) é mais restritiva que a imagem de f(x) ---> I(f) ⊂ I(g) ---> Correta

III) A imagem de f(x) tem o formato de uma letra V com o vértice em V(-1, -1), logo o seu valor mínimo vale -1 ---> Correta

por **Giovana Martins** Dom 26 Nov 2023, 13:30

[latex]\\\mathrm{\ \ f(x)=\sqrt{\frac{x^3+x^2-x-1}{x-1}}-1=\sqrt{\frac{(x-1)(x+1)^2}{x-1}}-1=\sqrt{(x+1)^2}-1=|x+1|-1}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f(x)=\sqrt{\frac{x^3+x^2-x-1}{x-1}}-1\ \therefore\ x\neq 1\ \therefore\ D(f)=\left \{ x\in \mathbb{R}\ |\ x\neq 1 \right \}}\\\\ \mathrm{g(x)=\frac{\sqrt{x^3+x^2-x-1}}{\sqrt{x-1}}-1=\frac{\sqrt{(x-1)(x+1)^2}}{\sqrt{x-1}}-1=\frac{|x+1|\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}}-1=|x+1|-1}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g(x)=\frac{\sqrt{x^3+x^2-x-1}}{\sqrt{x-1}}-1\ \therefore\ x-1>0\ \therefore\ D(g)=\left \{ x\in \mathbb{R}\ |\ x>1 \right \}}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ Deste\ modo\ D(f)\neq D(g),o\ que\ acarreta\ tamb\acute{e}m\ f(x)\neq g(x)\ \therefore\ Item\ I\ \acute{e}\ falso}[/latex]

A partir de f(x) = |x + 1| - 1 e g(x) = |x + 1| - 1 e dos domínios D(f) e D(g), sejam, respectivamente, os gráficos de f(x) e g(x):

Gráfico de f(x):

Gráfico de g(x):

A partir dos gráficos, Im(f) = {f ∈ ℝ | f ≥ - 1} e Im(g) = {g ∈ ℝ | g > 1}, tal que Im(g) ⊂ Im(f). Ademais, também pelo gráfico, dado que Im(f) = {f ∈ ℝ | f ≥ - 1}, logo, o valor mínimo de f é - 1.

Resposta: alternativa E.

Se houver dúvidas, avise.