Equação da parábola

por Johannes Seg 02 Nov 2015, 12:06

Determinar uma equação da curva gerada por um ponto que se move de modo que sua distancia ao ponto A(-1,3) seja igual a sua distancia a reta y+3=0.

Resposta: x² + 2x - 12y + 1 =0

por **Carlos Adir** Seg 02 Nov 2015, 20:53

Ou seja, A é o foco, a reta 0x+1y+3=0 é a diretriz.
Podemos fazer a distância de um ponto à reta:
$\mathrm{d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{|0\cdot x_0 + 1 \cdot y_0 + 3|}{\sqrt{0^2+1^2}}=|y_0+3|}$
Distância entre um ponto e o foco:
$\mathrm{d=\sqrt{(x+1)^2+(y-3)^2}}$
Igualando obtemos:
$\mathrm{\sqrt{(x+1)^2+(y-3)^2}=|y+3|}$
Que nos dá:
$\\ \mathrm{(x+1)^2+(y-3)^2=(y+3)^2} \\ \mathrm{(x+1)^2=(y+3)^2-(y-3)^2} \\ \mathrm{(x+1)^2=12y} \\ \mathrm{12y-x^2-2x-1=0} \\ \mathrm{x^2+2x+1-12y=0}$
Outra maneira é:

O ponto mais proximo do foco, que pertence à reta é dado por (-1, -3)
A distância entre esses dois pontos equivale a 6. Então, p=6.
O vértice é dado pelo intermédio desses dois pontos, logo V=(-1, 0)
Agora, temos a equação da parábola:
$\\ \mathrm{2p(y-y_{vertice})=(x-x_{vertice})^2} \\ \mathrm{2 \cdot 6(y-0)=(x+1)^2}$

Que nos dá a equação.

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