Cálculo de Campo Vetorial

por Chess_SP Qui 29 Out 2015, 11:41

Pessoal, como resolve essa questão?

A altitude de um certo relevo no ponto (x,y) é dada pela função h(x,y). Sabendo-se que h(0,0) = 0 e que Cálculo de Campo Vetorial 2iag9cg

, podemos afirmar que:

Resposta: h(3,0) = 9.

Tentei fazer da seguinte forma, porém a resposta que encontrei foi -7.

Derivei em relação a x e y:

2cosy - 2xseny - 2xseny -x^2cosy
2cosy - 4xseny - x^2cosy

E depois substituí os valores 3 e 0:

2cos0 - 4.3sen0 - 9cos0 --> 2 - 0 - 9 = -7 ( resposta encontrada)

por **Fito42** Qui 29 Out 2015, 22:01

Não entendi por que você derivou. O gradiente representa as derivadas parciais, para encontrar a função h(x,y) basta INTEGRAR. Utilizarei a notação h'x e h'y para indicar as derivadas parciais em um par (x,y) qualquer:

h'x (x,y) = 2xcos(y)
h (x,y) = x²cos(y) + g(y). Lembrando que quando se integra, obtêm-se uma constante. Nesse caso essa constante pode estar em função de y ou não.
Derivemos a função em negrito na variável y:
h'y (x,y) = -x²sin(y) + g'(y)
Do enunciado h'y (x,y) = -x²sin(y). Então g'(y) = 0 e
h(x,y) = x²cos(y)
Observe que h(0,0) = 0*1 = 0
Então h(3,0) = 3²*1 = 9

por Chess_SP Ter 03 Nov 2015, 15:17

Olá Fito42, obrigada pela resposta.

Mas, não consegui entender a resolução.

Primeiramente, você integrou em relação a x e depois derivou em relação a y.

Porquê? Campo Vetorial é calculado através de derivação, pelo que aprendi.

por **Fito42** Qua 04 Nov 2015, 14:10

Realmente ficou bem confuso. Vamos lá:
Pela resposta do exercício, a questão pede para encontrar h(x,y) a partir do gradiente (das derivadas). Como você tem as derivadas e quer calcular a função original, basta integrar. Detalhe: quando integramos aparece o termo constante.

Pelo gradiente dado, podemos afirmar que:
1) h'x (x,y) = 2xcos(y)

2) h'y (x,y) = -x²sin(y)
já que ∇h(x,y) = (2xcos(y), -x²sin(y))

Integrando (1) em x, obtemos:
3) h(x,y) = x²cos(y) + g(y)**
**Essa função g(y) aparece pois integramos apenas em x

Derivemos a função (3) na variável y para encontrarmos g(y):
4) h'y (x,y) = -x²sin(y) + g'(y)

Observe que as funções (2) e (4) são iguais, então:
h'y (x,y) = h'y (x,y)
-x²sin(y) = -x²sin(y) + g'(y) => g'(y) = 0

De volta na função (3):
3) h(x,y) = x²cos(y) + g(y) = x²cos(y)

Testando:
h(0,0) = 0 (OK!)
h(3,0) = 3² * cos(0) = 9 (OK!)