Determine os valores de m E R para os quais a

por OliviaTate Qui 25 Jun 2015, 08:57

Determine os valores de m E R para os quais a equação √2 (sen x - cos x) = m² - 2 admite soluções.

Gabarito:

por **Carlos Adir** Qui 25 Jun 2015, 10:01

$\\ \mathrm{S=\sqrt{2}\left(sen \ x - cos \ x \right )=} \\ \mathrm{=\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} sen \ x - \dfrac{\sqrt{2}}{2} cos \ x \right )=} \\ \mathrm{=2 \left(cos \ \frac{\pi}{4} \cdot sen \ x - sen \ \frac{\pi}{4} \cdot cos \ x \right )=} \\ \mathrm{=2 \cdot sen \left(x - \frac{\pi}{4} \right ) } \\ \boxed{\mathrm{\therefore S=2 \cdot sen \left(x-\frac{\pi}{4} \right )}}$
Então, podemos:
$\mathrm{S=2 \cdot sen \left(x-\frac{\pi}{4} \right )=m^2-2}$
Como sabemos, o valor do seno vai de -1 até 1:
$\\ \mathrm{-1 \le sen \ x \le 1} \\ \mathrm{-1 \le sen \left(x-\frac{\pi}{4} \right ) \le 1} \\ \mathrm{-2 \le} \ {\color{Red} \mathrm{ 2 \cdot sen \left(x-\frac{\pi}{4} \right ) }} \mathrm{\le 2} \\ \mathrm{-2 \le} \ {\color{Red} \mathrm{ m^2 - 2 }} \mathrm{ \le 2} \\ \mathrm{-2 + 2 \le m^2 - 2 + 2 \le 2 + 2} \\ \mathrm{0 \le m^2 \le 4} \\ \mathrm{-2 \le m \le 2}$

por OliviaTate Qui 25 Jun 2015, 11:28

Mestre Carlos, eu não entendi o que vc fez nessa segunda parte:
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} sen \ x - \dfrac{\sqrt{2}}{2} cos \ x \right )$

por **Carlos Adir** Qui 25 Jun 2015, 11:35

Eu apenas dividi, se você voltar expandir(usar a distributiva) você achará a mesma coisa:
$\\ \mathrm{\sqrt{2} \left(sen \ x - cos \ x \right ) = \sqrt{2} \left(\dfrac{2}{2} sen \ x - \dfrac{2}{2} cos \ \right )=} \\ \mathrm{=\sqrt{2} \left(\dfrac{{\color{Red} \sqrt{2}} \cdot \sqrt{2}}{2} sen \ x - \dfrac{{\color{Red} \sqrt{2}} \cdot \sqrt{2}}{2} cos \ x \right )=} \\ \mathrm{= \sqrt{2} \left[{\color{Red} \sqrt{2}} \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot sen \ x - \dfrac{\sqrt{2}}{2} cos \ x \right ) \right ]}$

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