Progressão infinita

por leochip Seg 13 Abr 2015, 09:20

Calcule x na equação $x = 1 + \frac{1}{x + \frac{1}{x + \frac{1}{x + ...}}}$

Minha dúvida nesse tipo de questão é como identificar o primeiro termo e a razão. Se possível for, expliquem de uma forma que generalize para outras questões deste tipo. Muito obrigado.

por **Ashitaka** Seg 13 Abr 2015, 09:42

por leochip Seg 13 Abr 2015, 12:03

Ok, mas como você assumiu que a soma de X mais os seguidos denominadores seria igual a 1 sobre X menos 1??

por **Ashitaka** Seg 13 Abr 2015, 19:18

Pegue a primeira equação, chame a parte em negrito de a, isole a e você encontrará a = 1/(x-1).

por leochip Seg 13 Abr 2015, 20:21

Ainda não entendi seu raciocínio. Tem algum video ou outra coisa sobre essas questões de denominadores sucessivos. Já me deparei com algumas delas e não resolvi. Obrigado

por **Ashitaka** Seg 13 Abr 2015, 20:28

Eu não entendi o que você não entendeu na solução.

por leochip Seg 13 Abr 2015, 20:59

Só entendi até aonde você somou X aos dois lados da igualdade e subtraiu 1.

por **Ashitaka** Seg 13 Abr 2015, 21:09

Depois de somar x e subtrair 1, volte na primeira equação que escrevi, na original que você postou. Chame aquela parte em negrito de a. Ficará com:
x = 1 + 1/a ----> a = 1/(x-1).
Agora note que na segunda equação, aquela em que está o 2x-1, o termo também em negrito dela é esse mesmo a da original que foi isolado ali. Então no lugar dele, você coloca 1/(x-1), já que isso é igual a a.
Entendeu agora?

por leochip Seg 13 Abr 2015, 21:19

Agora sim compreendi sua ideia. Muito obrigado mesmo. Você sabe se há outras maneiras de desenvolver esse exercicio? Não acho que haja algum mais simples que o seu mas é bom ver outros modos sempre.

por **Ashitaka** Seg 13 Abr 2015, 21:26

Se há outro modo, é algo muito parecido com o meu, não tenha dúvidas (a não ser que seja algo que desconheço completamente).
Exercícios como esse se baseiam no princípio de que se tirar um termo de uma sequência infinita, não se altera a quantidade de termos dela. Foi exatamente o que eu fiz, só que adicionando um termo. Fiz aparecer exatamente a mesma sequência na segunda equação para poder substituir por um termo finito da original.
E aí, refletiu se 0 vale como solução?