Soma de três quadrados

por Winschistorff von Belone Dom 12 Abr 2015, 21:09

Qestão. Se 3n+1 é um quadrado perfeito, mostre que n+1 é a soma de três quadrados.

Minha única resolução:

3n+1=k^2<=>k é ímpar. Logo k=6m+1\\

3n+1=(6m+1)^2=36m^2+12m+1
--> n+1=12m^2+4m+1=4m^2+4m^2+(4m^2+4m+1)=\\(2m)^2+(2m)^2+(2m+1)^2

Porém como se ver temos dois quadrados iguais. Está correto a resolução?

por Jonas Mira Ter 14 Abr 2015, 04:33

De uma outra forma;
I) 3n+1=k², isolando n=> n=(k²-1)/3
II) n+1=> (k²-1)/3 + 1 = (k²-1+3)/3 = (k²+2)/3, o que podemos dizer que é algebricamente igual a: k²/3 + 1/3 + 1/3 ou seja: (k√3/3)² + ( √3/3)² + (√3/3)².

Chegando na mesma conclusão que você, pois acima de tudo, é uma soma de 3 quadrados sendo 2 deles idênticos.
Espero ter ajudado!

por Winschistorff von Belone Qua 15 Abr 2015, 18:09

Jonas Mira escreveu:De uma outra forma;
I) 3n+1=k², isolando n=> n=(k²-1)/3
II) n+1=> (k²-1)/3 + 1 = (k²-1+3)/3 = (k²+2)/3, o que podemos dizer que é algebricamente igual a: k²/3 + 1/3 + 1/3 ou seja: (k√3/3)² + ( √3/3)² + (√3/3)².

Chegando na mesma conclusão que você, pois acima de tudo, é uma soma de 3 quadrados sendo 2 deles idênticos.
Espero ter ajudado!

Obrigado por comentar.
Creio que pelo falo de ser um quadrado perfeito entao a questao esta se referindo as numeros do conjunto Naturais U Naturais_

Senao, nao faz sentindo fazer tal classificaçao pois poderiamos dizer que \sqrt[4]{2} tem \sqrt{2} como quadrado perfeito, logo, pelo o que eu lembro, so vale para para Naturais U Naturais_

Meu teclado ta em outra idioma, eh por isso que ta tudo mais escrito kkk ate mais

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