Soma de quadrados
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Soma de quadrados
por igormf Ter 06 maio 2014, 16:30
Calcule o valor 1²-2²+3²-4²+5²-...+91²
Resp.: 4186
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igormf- Recebeu o sabre de luz
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Re: Soma de quadrados
por ivomilton Ter 06 maio 2014, 18:16
Boa tarde, Igor.igormf escreveu:Calcule o valor 1²-2²+3²-4²+5²-...+91²
Resp.: 4186
Ver sobre este assunto, clicando no link abaixo:
http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/curiosidades_matematica/soma_dos_quadrados/somaquadrado.php
Sn = (n+1)n(2n+1)/6
S91 = (91+1)91(2*91+1)/6
S91 = (92 * 91 * 183)/6
S91 = 1532076/6
S91 = 255346
Desse total deve-se subtrair 2 vezes a soma dos quadrados pares:
2(2² + 4² + 6² + ... + 90²)
2² + 4² + 6² + ... + 90² = 4*(1² + 2² + 3³ + ... + 45²)
Logo,
2(2² + 4² + 6² + ... + 90²) = 2*4*(1² + 2² + 3³ + ... + 45²) = 8*(1² + 2² + 3³ + ... + 45²)
Por sua vez,
S45 = (45+1)45(2*45+1)/6 = 46*45*91/6 = 188370/6 = 31395
Então,
8*(1² + 2² + 3³ + ... + 45²) = 8*31395 = 251160
Assim sendo, o valor procurado é:
S91 - 8*S45 = 255346 - 251160 = 4186
Um abraço.
Última edição por ivomilton em Ter 06 maio 2014, 18:37, editado 1 vez(es)
ivomilton- Membro de Honra
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Re: Soma de quadrados
por gustavolol2 Ter 06 maio 2014, 18:29
Olá igor.
Esse foi o método de resolução que eu consegui encontrar:
Lembre-se que a²-b²=(a+b)(a-b)
1²-2²+3²-4²+5²-...+91²=
(-1)(1+2)+(-1)(3+4)+(-1)(5+6) .....(-1)(89+90) + 91²=
Colocando -1 em evidência:
-[(1+2)+(3+4)+(5+6)....(89+90)] + 91²=
-[(4x1-1) + (4x2-1) + (4x3-1)...(4x45-1)] + 91²
Repare que haverá -1 quarenta e cinco vezes.
-[-45 + (4x1) + (4x2) + (4x3)...(4x45)] + 91²
-[-45 + 4(1+2+3+4...45)] + 91²
*Em uma p.a a soma de uma sequência de números é a metade da soma do produto da soma com a diferença deles somado com a soma dos dois números : S = (S*D + S)/2
Assim,
(1+2+3+4...45) = S = (46*44 + 46)/2 => S = 1035
-[-45 + 4(1035)] + 91² =
-[-45 + 4140 ] + 8281=
-4095+8281 = 4186
Um abraço.
Esse foi o método de resolução que eu consegui encontrar:
Lembre-se que a²-b²=(a+b)(a-b)
1²-2²+3²-4²+5²-...+91²=
(-1)(1+2)+(-1)(3+4)+(-1)(5+6) .....(-1)(89+90) + 91²=
Colocando -1 em evidência:
-[(1+2)+(3+4)+(5+6)....(89+90)] + 91²=
-[(4x1-1) + (4x2-1) + (4x3-1)...(4x45-1)] + 91²
Repare que haverá -1 quarenta e cinco vezes.
-[-45 + (4x1) + (4x2) + (4x3)...(4x45)] + 91²
-[-45 + 4(1+2+3+4...45)] + 91²
*Em uma p.a a soma de uma sequência de números é a metade da soma do produto da soma com a diferença deles somado com a soma dos dois números : S = (S*D + S)/2
Assim,
(1+2+3+4...45) = S = (46*44 + 46)/2 => S = 1035
-[-45 + 4(1035)] + 91² =
-[-45 + 4140 ] + 8281=
-4095+8281 = 4186
Um abraço.
gustavolol2- Recebeu o sabre de luz
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