Progressão aritimética

por nandofab Qua 04 Fev 2015, 11:33

IME- Calcule a soma dos n primeiros termos de uma P.A, cujo primeiro termo é a, sabendo que o quociente da soma dos n primeiros termos pela soma dos n seguintes é independente de n.

Gabarito: an²

por **Elcioschin** Qua 04 Fev 2015, 18:06

PA ----> a1, a2, a3, a4, ...... an, an+a, an+2, an+3 + ...... a2n

............ | ............. n ............ | |.................. n ...................|

an = a1 + (n - 1).r ---> an = a + n.r - r

S = (a1 + an).n/2 ---> S = [a + a + n.r - r].n/2 ---> S = (2a.n + n².r - n.r)/2

an+1 = a1 + [(n+1) - 1].r ---> an+1 = a + n.r

a2n = a1 + [2n - 1).r ---> a2n = a + 2n.r - r

S' = (an+1 + a2n).n/2 ---> Substitua e simplifique

Calcule S/S' e deduza quando será independente de n

Calcule S

por nandofab Qui 05 Fev 2015, 22:32

Terminei da seguinte maneira: S/S' = 2an + n²r -nr/2an + 2n²r -nr
Já que n #0, dividindo por n, temos: 2a + nr -r / 2a + 2nr - r = k (constante)
Logo, depois de algum algebrismo, chegamos a: (1-k)(2a-r) = nr(2k-1)

Como tal quociente independe de n, o lado direito será 0 e, portanto, 2k-1 = 0, logo k = 1/2 e r = 2a.

Ao substituir na fórmula da soma da PA encontramos an².

Está correto esse meu raciocínio? k = 1/2 ??

por nandofab Sex 27 Fev 2015, 23:30

Fernando, para que a análise da sua expressão fique mais compreensível, basta igular os polinômios do 1º grau q vc encontrará nela caso faça a distributiva.. Assim, vc terá o seguinte sistema: (2a-r) = (2a-r) = k e r =3nrk

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