Progressão aritimética

por almeidagg Ter 04 Out 2016, 11:26

Numa PA temos ap = q e aq = p, com p ≠ q. Determine a1 e a(p+q).

Gabarito:

por **Claudir** Ter 04 Out 2016, 15:45

$\\\\a_p=a_1+(p-1)r=q\to r=\frac{q-a_1}{p-1}\\\\a_q=a_1+(q-1)r=p\to a_1+(q-1).\left ( \frac{q-a_1}{p-1} \right )=p\\\\\to a_1(p-q)=p^2-q^2-p+q\to a_1=\frac{(p-q)(p+q)-(p-q)}{(p-q)}\\\\\to \boxed{a_1=p+q-1}$

Daqui fica fácil. Wink

por almeidagg Qua 05 Out 2016, 12:15

Vlw man!

por Fibonacci13 Seg 21 Jun 2021, 19:41

Eu não consegui entender como ele chegou na terceira linha através do valor de "p" que ele encontrou.

por **Claudir** Seg 21 Jun 2021, 21:27

Fibonacci13 escreveu:Eu não consegui entender como ele chegou na terceira linha através do valor de "p" que ele encontrou.

É só abrir a expressão e fatorar.

Lembrando que p² - q² = (p - q)(p + q)

por **Elcioschin** Seg 21 Jun 2021, 21:55

Basta fazer as contas indicadas!

a_q = a₁ + (q - 1).r

p = a₁ + (q - 1).[(q - a₁)/(p - 1)]

p = a₁ + (q² - a₁.q - q + a₁)/(p - 1) ---> *(p - 1) --->

p.(p - 1) = a₁.(p - 1) + (q² - a1.q - q + a1) --->

p² - p = a₁.p - a₁ + q² - a₁.q - q + a₁

p² - q² = a₁.(p - q) + 1.(p - q) ---> (p - q).(p + q) = (p - q).(a₁ + 1) --->

p + q = a₁ + 1 ---> a₁ = p + q - 1

por Fibonacci13 Seg 21 Jun 2021, 21:58

Muito obrigado pela ajuda, Claudir e Elcioschin. Very Happy

por Fibonacci13 Seg 21 Jun 2021, 22:37

Elcio, nesta parte :

p = a1 + (q² - a1.q - q - a1)/(p - 1)

não deveria ser:

p = a1 + (q² - a1.q - q +a1)/(p - 1)

por **Elcioschin** Ter 22 Jun 2021, 12:07

Sim, na 3ª linha o sinal foi digitado errado.
Mas note que, a partir da 4ª linha, já está correto.

por Silence__ Qui 15 Jul 2021, 19:57

Eu fiz essa questão de uma maneira diferente.

Sabemos que um termo duma P.A. é dado por an = am + (n - m)r, onde n,m são naturais e r a razão. Sabendo disso, eu fiz, sem perda de generalidade q>p e, portanto,

aq = ap +(q-p)r <=>
<=> p = q + (q-p)r <=>
<=> p(1+r) = q(1+r) <=>
<=> (q-p)(1+r) = 0

Logo, como p e q são diferentes, temos 1+r = 0 => r=-1. Um termo qualquer duma P.A. pode ser dado por an = a1 +(n-1)r. Portanto, aq= a1+(q-1)r = p e ap = a1 + (p-1)r = q. Somando ambas, teremos:

aq + ap = 2a1 + r(q+p -2) = p+q <=>
<=> 2a1 + -q - p + 2 = p + q <=>
<=> a1 + 1 = p + q <=> a1 = p + q -1

Porém, o termo a(p+q) = a1 + (p+q -1)r. Logo, substituindo a partir do último resultado, temos:

a(p+q) = a1 - a1 = 0. E depois disso é imediato a1.

Me desculpe o texto rustico, eu não sei mexer muito bem com as ferramentas.