[Resolvido]Integral de Função Hiperbólica

por **aryleudo** Sáb 31 Jul 2010, 11:57

Calcule a integral indefinida indicada:
$\fn_phv \100dpi \int \frac{senhx}{e^{x}+e^{-x}}dx$

Spoiler:

por **aryleudo** Sáb 31 Jul 2010, 17:48

Ok galera, o Leônidas participante da comunidade no Orkut "Projeto IME/ITA/EN/AFA" já me ajudou. Nesse sentido gostaria de compartilhar com os demais colegas do PIR2 a solução.

$\fn_phv \100dpi \int \frac{senhx}{e^{x}+e^{-x}}dx$

Considere:
$\fn_phv \100dpi coshx=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \Rightarrow e^{x}+e^{-x} = 2coshx$

Substituo na integral:
$\fn_phv \100dpi \int \frac{senhx}{2cosh(x)}dx = \frac{1}{2}\int \frac{senhx}{coshx}dx$

Considere:
$\fn_phv \100dpi \\u = coshx\\\\\frac{du}{dx}=senhx\\\\ du =senhxdx$

Substituindo "coshx por u" e "senhxdx por du" na integral. Temos:
$\fn_phv \100dpi \\\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}du = \frac{1}{2}\times ln\hspace{3}u + C = ln\hspace{3}u^{\frac{1}{2}} + C = ln\hspace{3}\sqrt{u} + C$

Retornando as incógnitas iniciais:
$\fn_phv \100dpi \int \frac{senhx}{e^{x}+e^{-x}}dx = ln\hspace{3}\sqrt{coshx} + C$

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