Princípio Multiplicativo e MMC

por Giovane Dom 06 Jul 2014, 10:15

Quantos são os pares de inteiros positivos (a,b) para os quais o seu Mínimo Múltiplo Comum é igual a 126000?

Gab: 473

por Paulo Testoni Sáb 12 Jul 2014, 10:50

Hola.

dois dias tentando essa. A explicação é mais complicada que a resolução
O MMC é formado pelos fatores comuns e não-comuns, com os maiores expoentes.
D
ecompondo em fatores primos
126.000 = 2⁴. 3² . 5³ . 7¹, então, na decomposição do par (a;b), aparecem os fatores 2⁴; 3² ; 5³ e 7¹ em ´a´ ou ´b´ ou ambos.
Ex de um par : (2⁴. 3¹ . 5² . 7¹) ; (2⁴. 3º . 5¹ . 7¹).

Veja que o maior expoente dos fatore 2 e 7 aparecem nos dois números. Esses casos (expoentes máximos repetidos) serão vistos separadamente.
.
(I) expoentes do mesmo fator diferentes em "a" e "b"
os fatores máximos podem aparecem em "a" ou "b" (2 possibilidades) para cada um dos 4 fatores : 2⁴= 16 possibilidades. Como o par (A;B) é o mesmo de (B;A) , temos então 2⁴/ 2 = 8 possibilidades distintas
O outro expoente do fator 2 varia de 0 a 3 (4 possib.) (lembre-se que o caso dos 2 expoentes iguais será visto em separado) ; do fator 3 varia de 0 a 1(2 possib.) ; do 5 varia de 0 a 2(3 possib.) e do 7 apenas zero (1 possib.)
4.2.3.1 = 24
total = 8 x 24 = 192 possibilidades
.
==> com os 4 expoentes iguais em "a" e "b" : 2⁴. 3² . 5³ . 7¹ e 2⁴. 3² . 5³ . 7¹ (ou 120.000 ; 126.000) = 1 possibilidade
==> com 3 iguais : 2¹/2 = 1 (mesmo raciocínio de I)
variação do 3º expoente : 1 x (4 + 2 + 3 + 1) = 10
==> com 2 iguais : 2²/2 = 2
variação dos outros 2 expoentes : 2 x (4.2 + 4.3 + 4.1 + 2.3 + 2.1 + 3.1) = 70
==> com 1 igual : 2³/2 = 4
variação dos outros 3 expoentes : 4 x (4.2.3 + 4.2.1 + 4.3.1 + 2.3.1) = 200
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total : 192 + 1 + 10 + 70 + 200 = 473

Uma colaboração do Tiririca.