Conjunto imagem

por NATHGOOL Qui 29 maio 2014, 19:08

O conjunto imagem da função f: [0,1] →[0,π], $f(x)= arccos\frac{3x -1}{2}$ é:

(A) $\left \{ 0,\frac{\pi }{4},\frac{2\pi }{3} \right \}$

(B) $\left [ 0,\pi \right ]$

(C) $\left [ \frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4} \right ]$

(D) $\left [ 0,\frac{2\pi }{3} \right ]$

(E) $\left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]$

por Luck Qui 29 maio 2014, 22:28

arcos(3x-1)/2 = θ ∴ cosθ = (3x-1)/2
0 ≤ x ≤ 1 ∴ -1/2 ≤ (3x-1)/2 ≤ 1 ∴ -1/2 ≤ cosθ ≤ 1
No intervalo 0 a pi temos: 0 ≤ θ ≤ 2pi/3
Logo Imf = [ 0, 2pi/3]

por GBRezende Dom 09 Set 2018, 00:01

Alguém pode explicar? Entendi que -1/2 ≤ costeta ≤ 1, mas a partir daí não sei como continuar

por **Elcioschin** Dom 09 Set 2018, 09:28

cosθ = (3.x - 1)/2 ---> Intervalo de x ---> [0, 1]

Para x = 0 ---> cosθ = (3.0 - 1)/2 ---> cosθ = - 1/2 ---> No intervalo [0, pi] ---> θ = 2.pi/3
Para x = 1 ---> cosθ = (3.1 - 1)/2 ---> cosθ = 1 ---> No intervalo [0, pi] ---> θ = 0

Imf ---> 0 ≤ θ ≤ 2.pi/3

Fazendo uma prova para um valor fora deste intervalo, por exemplo: θ = 5.pi/6 ---> cos(5.pi/6) = - √3/2

- √3/2 = (3.x - 1)/2 ---> x = (1 - √3)/3 ---> x ~= - 0,244 ---> fora do intervalo permitido [0, 1] --> Não serve

por natanlopes_17 Sáb 29 maio 2021, 15:11

Elcioschin escreveu:cosθ = (3.x - 1)/2 ---> Intervalo de x ---> [0, 1]

Para x = 0 ---> cosθ = (3.0 - 1)/2 ---> cosθ = - 1/2 ---> No intervalo [0, pi] ---> θ = 2.pi/3
Para x = 1 ---> cosθ = (3.1 - 1)/2 ---> cosθ = 1 ---> No intervalo [0, pi] ---> θ = 0

Imf ---> 0 ≤ θ ≤ 2.pi/3

Fazendo uma prova para um valor fora deste intervalo, por exemplo: θ = 5.pi/6 ---> cos(5.pi/6) = - √3/2

- √3/2 = (3.x - 1)/2 ---> x = (1 - √3)/3 ---> x ~= - 0,244 ---> fora do intervalo permitido [0, 1] --> Não serve

Mestre, pode por favor me explicar pq é -1/2≤(...) se o conjunto imagem é de 0 a 1