A soma de n números é igual a 30000. Se a cad

A soma de n números é igual a 30000. Se a cada um deles acrescentarmos 30 e somarmos os resultados assim obtidos, a nova soma será 60000.
Quantos divisores de n são quadrados perfeito?

marguiene escreveu:A soma de n números é igual a 30000. Se a cada um deles acrescentarmos 30 e somarmos os resultados assim obtidos, a nova soma será 60000.
Quantos divisores de n são quadrados perfeito?

Bom dia,

Acrescentando-se 30 unidades a cada um dos n números a soma aumenta em:
60000 - 30000 = 30000, ou seja:

30*n = 30000
n = 30000/30
n = 1000

1000 = 2.2.2.5.5.5

Formando os possíveis quadrados (lembrando que quadrados têm pares de fatores primos iguais):
2.2 = 4
5.5 = 25
2.2.5.5 = 100

A estes, devemos acrescentar também o 1.

Tabela dos divisores de 1000:

__1____2____4____8
__5___10___20___40
_25___50__100__200
125__250__500_1000

Portanto, os possíveis quadrados são:
1, 4, 25 e 100.




Um abraço.

Olá.

a + b + c + d + e + ... + n = 30000
a + 30 + b + 30 + c + 30 + ... + n + 30 = 60000 .:. 30000 + n*30 = 60000 .:. n*30 = 30000 .:. n = 1000

Fatorando 1000:

1000 | 2
 500 | 2
 250 | 2
 125 | 5
  25 | 5
   5  | 5
   1 --> 2*2² * 5*5²

As possibilidades para termos quadrados perfeitos são:

2^0*5^0 = 1
2*2 = 4
5*5 = 25
2*2*5*5 = 100


Para confirmar, os divisores de n são:

1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500, 1000

Att.,
Pedro

Para resolver essa questão, lembrei de progressão aritmética (P.A.)

A única fórmula que devemos lembrar é Sn = (A1 + An).n/ 2, ou seja, a soma de todos os termos numa P.A. deve ser igual a soma do primeiro termo com o último multiplicado pela quantidade de termos existente nesta P.A. dividido por 2.

Logo:

Sn = (A1 + An).n /2
30000 = (A1 + An).n /2

Sn' = (A1 + 30 +An + 30).n /2  >> Observe nos números em azul.
60000 = (A1 + An + 60).n /2

_______ Porém, para continuar, devemos achar o valor de (A1 + An)...

30000 = (A1 + An).n/2
60000 = (A1 + An).n
(A1 + An) = 60000/n

_______ Substituímos em Sn' = 60000

60000 = (A1 + An + 60).n /2
60000 = [60000/n + 60n]/2
120000 = 60000 + 60.n
n = 1000

1000, após ser fatorado, encontramos: 2.2.2.5.5.5 e usar a mesma técnica do ivomilton.

ivomilton escreveu:

marguiene escreveu:A soma de n números é igual a 30000. Se a cada um deles acrescentarmos 30 e somarmos os resultados assim obtidos, a nova soma será 60000.
Quantos divisores de n são quadrados perfeito?

Bom dia,

Acrescentando-se 30 unidades a cada um dos n números a soma aumenta em:
60000 - 30000 = 30000, ou seja:

30*n = 30000
n = 30000/30
n = 1000

1000 = 2.2.2.5.5.5

Formando os possíveis quadrados (lembrando que quadrados têm pares de fatores primos iguais):
2.2 = 4
5.5 = 25
2.2.5.5 = 100


Tabela dos divisores de 1000:

__1____2____4____8
__5___10___20___40
_25___50__100__200
125__250__500_1000




Um abraço.

Ivomilton, só uma dúvida, porque não podemos considerar o número 1 como quadrado perfeito? Ele é divisor de 1000 e 1² = 1. Será que o senhor se esqueceu de considerar este nº?

Boa noite, Lord Sol Negro.

Com certeza, não havia me lembrado do 1.
Editei, então, e o acrescentei à lista.
Muito obrigado pelo aviso!



Um abraço.

ivomilton escreveu:Boa noite, Lord Sol Negro.

Com certeza, não havia me lembrado do 1.
Editei, então, e o acrescentei à lista.
Muito obrigado pelo aviso!



Um abraço.

De nada professor.

Até logo.