Racionalização

por gusttavon Dom 12 Jan 2014, 17:25

O denominador racionalizado de:

1/[2.2^(1/3) + 4]

é
a.1
b.4
c.2
d.6
e.3

por **Medeiros** Dom 12 Jan 2014, 19:41

O denominador racionalizado de:
1/[2.2^(1/3) + 4]
é
a.1
b.4
c.2
d.6
e.3

Gusttavon, estou achando "20".

a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²)

$\\ \frac{1}{2\sqrt[3]{2}+4} = \frac{1\cdot\left(2^2.2^{\frac{2}{3}}-8\sqrt[3]{2}+16 \right )}{2^3.2+4³} = \frac{4\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{2}-8\sqrt[3]{2}+16}{16+64} = \\\\\\ \frac{4\left[\sqrt[3]{2}\left(\sqrt[3]{2}-2 \right )+4 \right ]}{80} = \frac{2^{\frac{1}{3}}\left(2^{\frac{1}{3}}-2 \right )+4}{20}$

por **Euclides** Dom 12 Jan 2014, 19:44

Confirmando: também encontro 20, usando soma de dois cubos.

por gusttavon Seg 13 Jan 2014, 14:26

Correto, mas como vocês pensaram exatamente na soma dos cubos?!

Obrigado!

por **Euclides** Seg 13 Jan 2014, 17:06

gusttavon escreveu:Correto, mas como vocês pensaram exatamente na soma dos cubos?!

Obrigado!

Experiência, eu acho. Álgebra é coisa muito "manhosa" que beneficia o olhar treinado.

No denominador você tem uma coisa na forma a+b, sendo que o a envolve uma raiz cúbica. Na fatoração da soma de dois cubos aparece um a+b:

a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²)

que multiplicado por (a² - ab + b²) resulta em a³+b³ que convenientemente elimina o radical.