Cálculo Algébrico

por diolinho Qui 02 Jan 2014, 14:10

Sabendo-se que x + (1/x)² = 3, o valor de x³ + 1/x³ será:

a) x + 3
b) x³
c) 6
d) 3
e) 0 (zero)

OBS.: Não tenho o gabarito!

por **Elcioschin** Qui 02 Jan 2014, 14:28

Será que existe um erro no seu enunciado?

x² + 1/x² = 3

(x + 1/x)² = x² + 1/x² + 2

(x + 1/x)² = 3 + 2 ----> (x + 1/x)² = 5 ----> (x + 1/x) = √5

(x + 1/x)³ = (√5)³ =---> x³ + 1/x³ + 3,x².(1/x) + 3x.(1/x²) = 5.√5 ----> x³ + 1/x³ + 3.(x + 1/x) = 5.√5 --->

x³ + 1/x³ + 3.√5 = 5.√5 ----> x³ + 1/x³ = 2.√5

por diolinho Qui 02 Jan 2014, 23:47

Eu tmb penso que há um erro no enunciado, mas copiei exatamente como estava no arquivo...

Penso que o certo deveria ser:

"Sabendo-se que (x + 1/x)² = 3, o valor de x³ + 1/x³ será"

Pq aí teríamos:

(x+1/x)²= 3 (i)
x²+2+1/x² = 3
x²+1/x² = 3-2
x²+1/x² = 1 (i)

(x+1/x)² = 3
(x+1/x) = ∓√3 (ii) (Adotarei o valor positivo)

Então,

(x³+1/x³) = (x+1/x)(x²-1+1/x²) (Pela fatoração do tipo "soma de cubos")

Logo, de (i) e (ii):

(x³+1/x³) = (x+1/x)(x² + 1/x² -1)
(x³+1/x³) = (√3)(1-1)
(x³+1/x³) = (√3)(0)
(x³+1/x³) = 0

Letra E