Raciocínio Algébrico

por gabeieiel Dom 10 Mar 2024, 13:04

Por que [latex]\left ( x-r \right ) \left ( x+r \right ) < 0 \Leftrightarrow -r < x < r [/latex] ?

por **Giovana Martins** Dom 10 Mar 2024, 13:10

Supondo r ∈ ℝ:

[latex]\\ \mathrm{Propriedade\ da\ desigualdades\ modulares:|x | < k\to -k < x < k}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ ( x+ r ) ( x - r ) < 0 \to x^2-r^2 < 0\to |x| < r\ \therefore\ - r < x < r}[/latex]

por **Giovana Martins** Dom 10 Mar 2024, 13:11

Outra propriedade das desigualdades modulares:

|x| > k implica x < - k ou x > k.

por **Giovana Martins** Dom 10 Mar 2024, 13:17

Dá para resolver utilizando a ideia inequações produto, veja:

Raciocínio Algébrico ZJ67regHuYxsrK7EKBVjnta5Ru76xNpA2DwKI3Q77WbM+mwHpsoqHQtFVHZX17952lSUPAhBYJ4DYrfPY6pnEKhQ7v6fXdXHNlMKZYld58iAAgXUCiN06j62eacmqpastZSV8bftgW60IziEwQwKI3Qw7nSZDYI4EELs59jpthsAMCSB2M+x0mgyBORJA7ObY67QZAjMkgNjNsNNpMgTmSACxm2Ov02YIzJAAYjfDTqfJEJgjAcRujr1OmyEwQwKI3Qw7nSZDYI4EELs59jpthsAMCfwDMnfEZ+PHkjsAAAAASUVORK5CYII=

por gabeieiel Dom 10 Mar 2024, 13:37

Giovana Martins escreveu:
Outra propriedade das desigualdades modulares:

|x| > k implica x < - k ou x > k.

É justamente aí que está minha dúvida: [latex]\left ( x-3 \right ) \left ( x+3 \right ) < 0[/latex] não implica [latex]x<3[/latex] e [latex]x<-3[/latex] ?

por **Giovana Martins** Dom 10 Mar 2024, 13:43

Não sei ao certo como você chegou nas desigualdades que você indicou. Se quiser indicar o seu passo a passo podemos discutir mais Smile

.

Mas o resultado não seria o que você indicou. Neste caso, basta substituir r por 3 nas situações anteriores que você obterá - 3 < x < 3.

Se fosse (x + 3)(x - 3) > 0 ocorreria o seguinte:

x² - 3² > 0

x² > 3²

|x| > 3

E aqui recaímos em |x| > k implica x < - k ou x > k, com k = 3, ou seja:

x < - 3 ou x > 3.

Pela método da inequação produto você tomaria somente o intervalo para o qual o produto (x + 3)(x - 3) é positivo.

por **Elcioschin** Dom 10 Mar 2024, 18:54

Outro modo de resolver:

(x + r).(x - r) < 0 ---> x² - r² < 0 ---> raízes x' - r e x" = +r

A função do 1º membro é uma função do 2º grau cujo gráfico é uma parábola.
Como o coeficiente de x² vale 1, a parábola tem a concavidade voltada para cima.
A parábola é negativa entre as raízes: -r < x < +r