[ITA] Estática

por **Fito42** Qua 01 Jan 2014, 18:41

Um cilindro de raio R está em equilíbrio, apoiado num plano inclinado, áspero, de forma que seu eixo é horizontal. O cilindro é formado de duas metades unidas pela secção longitudinal, das quais uma tem densidade d1 e a outra

densidade d2 < d1. São dados o ângulo a de inclinação do plano inclinado e a distância h = 4R/3pi do centro de massa de cada metade à secção longitudinal. Quanto ao ângulo ß de inclinação da secção longitudinal de separação sobre o horizonte, prove que:

por MCarsten Qua 01 Jan 2014, 19:32

Observe o diagrama acima, onde C é o centro do cilindro, R é o raio do cilindro, P1 e P2 são os pesos dos cilindros 1 e 2 respectivamente.

Através dos triângulos na figura, deduz-se que:
$a = h \cdot sen\beta$
$e = R \cdot sen \alpha$
$a = b + e \to b = a - e$

Logo a medida f será a soma de a e e:
$f = a + e$

Chamando de CC' a hipotenusa do triângulo retângulo de C com o plano inclinado. De acordo enunciado, como o cilindro encontra-se em equilíbrio, podemos calcular o momento dos pesos P1 e P2 em relação a CC':
$M_{P_{1}} - M_{{P_{2}}} = 0$
$P_{1} \cdot b = P_{2} \cdot f$

Lembrando que através das densidades temos:
$P_{1} = m_{1} \cdot g \to P_{1} = d_{1} \cdot v \cdot g$
$P_{2} = m_{2} \cdot g \to P_{2} = d_{2} \cdot v \cdot g$

Substituindo:
$d_{1}vg \cdot b = d_{2}vg \cdot f$

Simplificando:
$d_{1} b = d_{2} f$

Substituindo b e f com as relações encontradas através do diagrama:
$d_{1} (a - e) = d_{2} (a + e)$
$d_{1}(hsen\beta - Rsen\alpha) = d_{2}(hsen\beta + Rsen\alpha)$

Isolando senB:
$sen\beta = \frac{Rsen\alpha(d1 + d2)}{h(d1 - d2))}$

O enunciado fornece que h é $h = \frac{4R}{3\pi}$ , substituindo e resolvendo:
$\boxed{sen\beta = \frac{3\pi}{4}\frac{d1 + d2}{d1 - d2}sen\alpha}$

por **Fito42** Qua 01 Jan 2014, 21:36

Só não entendi uma coisa: você disse que a esfera está em equilíbrio pois o momento resultante das partes da esfera é zero. Mas pelo enunciado "apoiado num plano inclinado, áspero [...]" não seria preciso levar em conta o momento do atrito? E outra pergunta, se eu fosse marcar a força normal, eu marcaria pelo centro de massa?

Muito obrigado

por gusttavon Sex 03 Jan 2014, 11:43

O momento ao ser analisado do ponto de contato com o chão, quando você desenha a força de atrito no cilindro, ela está exatamente em cima do ponto (O BRAÇO É ZERO), então não é que não levamos em conta, simplesmente seu momento é nulo.

Abraços.

por Gabriel AX Ter 21 Nov 2017, 18:34

O diagrama nao aparece pra mim

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