Logaritmo Iezzi B.145

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Mensagem por zirkid em Qui 21 Nov 2013, 20:51

Se 0 < x ≠ 1, demonstre que: 

1/log x (2) * log x (4) + 1/log x (4) * log x (8 ) + ... + 1/ log x (2)^ n -1 * log x (2) ^n = (1 - 1/n) * 1/ log^2 x (2)

Sugestão (do Livro): 1/n (n-1) = 1/n-1 - 1/n 

(Sendo que: log x (2), significa log de 2 na base x).

Logaritmo Iezzi B.145 Sem_t_tulo_145
Obrigada.

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Mensagem por Luck em Seg 25 Nov 2013, 17:25

Da sugestão, temos que:
1/( (log[x]2)log[x]4) ) = (1/(log[x]4 - log[x]2)  ) ( (1/log[x]2)  - (1/log[x]4) )
1/( (log[x]2)log[x]4) )  = (1/log[x]2)( (1/log[x]2)  - (1/log[x]4) )
analogamente:
1/( (log[x]4)log[x]8))  = (1/log[x]2)( (1/log[x]4)  - (1/log[x]8))
...
1/( (log[x]2^n-1)log[x]2^n) )  = (1/log[x]2)( (1/log[x]2^n-1)  - (1/log[x]2^n) )

----------------------> (+) soma telescópica:
S = (1/log[x]2) ( (1/log[x]2) - (1/log[x]2^n) )
S = (1/log[x]2) ( (1/log[x]2) - (1/log[x]2)(1/n) )
S=  (1/log²[x]2) ( 1  - (1/n) )
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Mensagem por zirkid em Ter 26 Nov 2013, 15:26

Obrigada pela ajuda! Smile

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