Logaritmo Iezzi B.145

por zirkid Qui 21 Nov 2013, 21:51

Se 0 < x ≠ 1, demonstre que:

1/log x (2) * log x (4) + 1/log x (4) * log x (8 ) + ... + 1/ log x (2)^ n -1 * log x (2) ^n = (1 - 1/n) * 1/ log^2 x (2)

Sugestão (do Livro): 1/n (n-1) = 1/n-1 - 1/n

(Sendo que: log x (2), significa log de 2 na base x).

Logaritmo Iezzi B.145 Sem_t_tulo_145

Obrigada.

por Luck Seg 25 Nov 2013, 18:25

Da sugestão, temos que:
1/( (log[x]2)log[x]4) ) = (1/(log[x]4 - log[x]2) ) ( (1/log[x]2) - (1/log[x]4) )
1/( (log[x]2)log[x]4) ) = (1/log[x]2)( (1/log[x]2) - (1/log[x]4) )
analogamente:
1/( (log[x]4)log[x]8)) = (1/log[x]2)( (1/log[x]4) - (1/log[x]8))
...
1/( (log[x]2^n-1)log[x]2^n) ) = (1/log[x]2)( (1/log[x]2^n-1) - (1/log[x]2^n) )

----------------------> (+) soma telescópica:
S = (1/log[x]2) ( (1/log[x]2) - (1/log[x]2^n) )
S = (1/log[x]2) ( (1/log[x]2) - (1/log[x]2)(1/n) )
S= (1/log²[x]2) ( 1 - (1/n) )

por zirkid Ter 26 Nov 2013, 16:26

Obrigada pela ajuda! Smile

por Apla2004 Dom 21 Jun 2020, 11:29

Substituir as incógnitas por indução vulgar é válido?

por **Rory Gilmore** Dom 21 Jun 2020, 11:56

Não. Quando você substitui a incógnita por um número irá provar a propriedade exclusivamente para aquele número. Porém o enunciado quer uma prova para todos os valores positivos e diferentes de 1.