Integração - Método da Substituição

por Convidado Sáb 27 Jul 2013, 11:57

Resolver $\int sen(lnx)dx$ por substituição.

Agradeço pela ajuda.

Gabarito: $-\frac{1}{2}x(cos(lnx))-sen(lnx))+Cte.$

por **Euclides** Sáb 27 Jul 2013, 15:34

Uma substituição inicial:

$\\\int \sin(\ln x)dx=\int \frac{x\sin(\ln x)}{x}dx\\\\\ln x=y\;\;\;\to\;\;\;x=e^y\;\;\;\to\;\;\;dy=\frac{dx}{x}\\\\\int \sin(\ln x)dx=\int e^y.\sin(y)dy$

em seguida

$\\e^y=u,\;\;\;\;\sin(y)=dv\;\;\; \begin{cases}du=e^ydy\\v=-\cos(y)\end{cases}\\\\\\\boxed{\int e^y.\sin(y)dy=-e^y.cos(y)+\int \cos(y).e^ydy}\\\\\\e^y=dv,\;\;\;\;\sin(y)=u\;\;\;\begin{cases}v=e^y\\du=\cos(y)dy \end{cases}$

$\boxed{\int e^y.\sin(y)dy=e^y.\sin(y)-\int \cos(y).e^ydy }$

somando as duas expressões assinaladas

$\\2\int e^y.\sin(y)dy=-e^y.cos(y)+e^y\sin(y)\\\\\int e^y.\sin(y)dy= \frac{1}{2}e^y\left ( -\cos(y)+\sin(y) \right )\\\\\\\boxed{\int \sin(\ln x)dx= \frac{1}{2}x\left [ -\cos(\ln x)+\sin(\ln x) \right ]+C}$