Números Primos

Ache o número cujo produto dos seus divisores é igual a 3^30 . 5^40.

Resposta:

Spoiler:

Apresentarei um Teorema com sua respectiva demonstração.

Teorema: "Seja n ∈ ℕ* , D(n) a quantidade de divisores de 'n', e P(n) o produto dos divisores de 'n', tem-se que: P(n) = n^(D(n)/2)."

Demonstração: Sendo D{1}, D{2},(...),D{n} os divisores de 'n', tem-se que
P(n) = D{1}.D{2}.(...).D{n} (eq1).
Mas D{k} pode ser escrito como n/D{k'}, sendo D{k} e D{k'} divisores de 'n', de forma que D{1}, D{2},(...),D{n} podem ser reescritos como (n/D{k1}), (n/D{k2}),(...),(n/D{kn}), sendo k1, k2,(...),kn ∈ ℕ* tal que
0≤ k1, k2,(...),kn ≤ n e k1 ≠ k2 ≠ (...) ≠ kn.
Assim: P(n) = (n/D{1}).(n/D{2}).(...)(n/D{n}) (eq2).
Multiplicando-se (eq1) por (eq2), tem-se:
P(n)² = n^(D{n}) <=> P(n) = n^(D{n}/2) C.q.d

Do Teorema mostrado e demonstrado acima, tem-se que P(n) sempre é múltiplo de 'n'.
Assim, se P(n) = (3^30).(5^40), pode-se garantir que n = (3^p).(5^q), com
p > 30 e q > 40.

Novamente pelo Teorema e pelo outro que eu já mostrei e demonstrei num outro exercício postado por você (agora pouco) que diz que
D(n) = (k1 + 1).(k2 + 1).(...).(kn + 1), tem-se que:
P(n) = [(3^p).(5^q)]^[(p + 1).(q + 1)/2] = (3^30).(5^40) <=>
<=> 3^[p.(p + 1).(q + 1)/2].5^[q.(p + 1).(q + 1)/2] = (3^30).(5^40) <=>
<=> (p.(p + 1).(q + 1))/2 = 30 e (q.(p + 1).(q + 1))/2 = 40 <=>
<=>p.(p + 1).(q + 1) = 60 (eq3) e q.(p + 1).(q + 1) = 80 (eq4)

Dividindo-se (eq3) por (eq4), obtém-se: p/q = 60/80 = 3/4 (eq5)

Isolando 'q' em (eq5) e substituindo em (eq3), obtém-se:
p.(p + 1).(4.p/3 + 1) = 60 <=> p.(p + 1).(4.p + 3) = 180 <=>
<=> 4.p³ + 7.p² + 3.p - 180 = 0
Por inspeção com o auxílio do "Teorema das Raízes Racionais" (a demonstração deste se encontra na seção C.Q.D do fórum) encontra-se a raiz p = 3.
Fatorando com o auxílio do "Dispositivo de Briot-Ruffini", encontra-se:
(p - 3).(4.p² + 19.p + 60) = 0
A equação 4.p² + 19.p + 60 = 0 só possui raízes complexas, portanto:
p = 3.
Assim, de (eq5), vem que: q = 4.

Portanto, n = (3^3).(5^4) = 6075.

João, na consegui compreender.

P(n) = D1 . D2 . D3 ... D(n) (equação 1).
P(n) = n/D1 . n/D2 . n/D3 ... n/Dn (equação 2).

No caso da segunda equação, n/D1 = Dn, etc.

Se for isso mesmo, quando multiplicar uma equação pela outra, o resultado será diferente do mostrado por você

Devo ter entendido errado.

P(n) = D{1}.D{2}.(...).D{n} (eq1).
P(n) = (n/D{1}).(n/D{2}).(...)(n/D{n}) (eq2).

Multiplicando a (eq1) pela (eq2), membro a membro, tem-se:

P(n).P(n) = [D{1}.D{2}.(...).D{n}].[ (n/D{1}).(n/D{2}).(...)(n/D{n})] <=>
<=> P(n)² = n.n.n.(...).n (D{n} vezes) =>
=> P(n)² = n^[D{n}]

Quando eu digo que: P(n) = (n/D{1}).(n/D{2}).(...)(n/D{n}) não significa que n/D{1} = D{n} (pode ocorrer em algum caso), mas sim que n/D{1} é igual a algum D{k}, sendo k ∈ {1,2,3,(...),n}.