(IFAL - 2010) Resistência do Ar

por **aryleudo** 17/2/2013, 4:32 pm

Considere o arremesso de uma partícula de massa m e velocidade v₀, na direção horizontal de um túnel de vento, como um fator importante para a determinação de seu comportamento aerodinâmico. Desprezando o efeito gravitacional sobre o movimento da partícula, podemos concluir que a única força que atua nessa partícula durante o seu movimento é a resistência do ar, que para o regime de velocidade que nos interessa é proporcional à velocidade da partícula, --- ou seja, (f_r = −k.v), onde k é uma constante cujo valor em qualquer caso particular é determinado por fatores diferentes da velocidade. Sabendo-se que, na entrada do túnel foi adotado x(t = 0) = 0 para a posição dessa partícula, podemos afirmar que sua posição para um instante t do movimento será:

(A) $(IFAL - 2010) Resistência do Ar %5CLARGE%5C%21x%3De%5E%7B%5Cleft%28%5Cfrac%7B-kt%7D%7Bm%7D%5Cright%29%7D$

(B) $(IFAL - 2010) Resistência do Ar %5CLARGE%5C%21x%3D%5Cfrac%7Bkv_0%7D%7Bm%7D%7B%5Cleft%5B1%20-%20e%5E%7B%5Cleft%28%5Cfrac%7B-kt%7D%7Bm%7D%5Cright%29%7D%5Cright%5D%7D$

(C) $(IFAL - 2010) Resistência do Ar %5CLARGE%5C%21x%3D%5Cfrac%7Bmk%7D%7Bv_0%7D%7B%5Cleft%5B1%20-%20e%5E%7B%5Cleft%28%5Cfrac%7B-kt%5E2%7D%7Bm%7D%5Cright%29%7D%5Cright%5D%7D$

(D) $(IFAL - 2010) Resistência do Ar %5CLARGE%5C%21x%3D%5Cfrac%7Bmv_0%7D%7Bk%7D%7B%5Cleft%5Be%5E%7B%5Cleft%28%5Cfrac%7B-kt%7D%7Bm%7D%5Cright%29%7D%20-%201%5Cright%5D%7D$

(E) $(IFAL - 2010) Resistência do Ar %5CLARGE%5C%21x%3D%5Cfrac%7Bmv_0%7D%7Bk%7D%7B%5Cleft%5B1%20-%20e%5E%7B%5Cleft%28%5Cfrac%7B-kt%7D%7Bm%7D%5Cright%29%7D%20%5Cright%5D%7D$

RESPOSTA:

Spoiler:

por rihan 17/2/2013, 9:09 pm

1) Dados:

m≈0, v(0) = vo, v = k.x, R = F = -k.v

2) Pede-se: x(t)

3) Sabendo-se:

R = m.a

v ≡ dx/dt

a ≡ dv/dt = d²x/dt

4) Tem-se:

F = m.a = - k.v

m.dv/dt = - k.v

dv/v = (-k/m) dt

β ≡ k/m

∫( dv/v ) = ∫ (- βdt)

∆ln(v) = - β∆t

to = 0 --> ∆t = t

ln(v/vo) = - βt

v/vo =e^(- βt)

v = vo. e^(- βt)

∫v dt = ∫vo. e^(- βt) dt

∆x = vo∫e^(- βt) dt

x(0) = 0 --> ∆x = x

x = vo (- 1/ β)∆e^(- βt)

x = vo (- 1/ β) [ e^(- βt) - e^(- β.0) ]

x = (mvo/k) [ 1 - e^(- ktm) ]
■

por rihan 17/2/2013, 9:18 pm

Para os mais avançados em Cálculo, poderia ter sido feito diretamente, por equações diferenciais de 2ª ordem:

m.a = - k.v

m d²x/dt = - k.dx/dt

x" + β x' = 0

Condições Iniciais:

(i) x(0) = 0

(ii) x'(0) = vo

Equação Característica:

z² + β z = 0

z (z + β ) = 0

Raízes:

0 ; - β

Solução:

x = c1.e^(0t) + c2.e^(- βt)

x = c1 + c2.e^(- βt)

Aplicando as CIs para achar as constantes c1 e c2:

(i) x(0) = 0

x(t) = c1 + c2.e^(0) = 0

c1 = - c2

(ii) x'(0) = vo

x'(t) = - c2.β.e^(- βt)

x'(0) = - c2.β = vo

c2 = - vo/β

x(t) = vo/β - (vo/β)e^(- βt)

x(t) = vo/β [1 - e^(- βt) ]

x(t) = ( vo.m / k ) [ 1 - e^(- k t / m) ] ■

Saudações diferenciais !

por **Euclides** 17/2/2013, 9:29 pm

Equacionamento muito bonito rihan. Sorte nossa, aqui do fórum, tê-lo conosco.

por rihan 17/2/2013, 9:33 pm

A sorte é minha de existir um fórum como esse, sua obra, e eu poder fazer parte !

por **aryleudo** 17/2/2013, 9:38 pm

Muito grato Rihan pela sua contribuição (estava sentindo sua falta aqui pelo fórum!!!).

Retornando ao assunto... errei a questão porque: ln(v - v₀) ------{ Muita tolice a minha!!!}

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Saudações sentindo falta!

por rihan 17/2/2013, 10:13 pm

Estamos aqui !

Estava de férias (merecidas e necessárias...) Cool

...

Mas, só diminuí o ritmo, não despareci !

De volta à Bahia, recomeçando o trabalho, tudo indo bem com a saúde.

E Vamos Lá !

P.S: Já tive distrações (suave nome para asneiras) bem piores... relaxe !