Método de Newton–Raphson -aplicação

jota-r escreveu:

rihan escreveu:

Caro Rihan, como o amigo estimou o primeiro valor para x,
para começar a aplicar a fórmula x2 = x1 - f (x1) / f' (x1) ?
Como você sabe, o usual é estimar esse valor com base no gráfico de f (x),
mas como, neste caso, a resposta é conhecida...

4,5x⁶ - x⁵ - x⁴ - x³ - x² - x - 1

É um polinômio de grau 6, par, que se tiver raízes reais, vai ter uma positiva e outra negativa, mais 4 outras raízes complexas, conjugadas duas a duas.

Como temos somente um coeficiente positivo, o do termo de mais alto grau, eu, independente de qualquer estudo do polinômio, usaria o coeficiente deste termo (4,5), que é, justamente, Vo/P, por saber que a raiz certamente é menor do que ele, que entre a raíz e ele o crescimento é monótono, o que dará uma convergência rápida para o valor da raiz.

Visto esse método ser extremamente trabalhoso, outra pergunta: você usa
algum programa, planilha etc, para fazer toda essa contaiada ou faz tudo
na mão, usando somente calculadora científica?

Eu desenvolvi uma fórmula e a uso com calculadora (normal, científica ou financeira), planilha eletrônica ou qualquer linguagem de programação.

Tenho também a fórmula tabelada que fornece valores de j em função de Vo/P e n com precisão de 6 casas decimais, que fiz para alguns alunos e alunas que gostam de tabelas.

Mas, a melhor forma é usar uma calculadora financeira ou planilha eletrônica. Fazer contaiada é pra máquina...

Caso queira, faço um outro post com o contudo de como fazer em planilhas eletrônicas e na HP-12C.

Olá.

Nossa equação é:

Estou editando este exercício.

Um abraço.

rihan escreveu:

Caro Rihan, como o amigo estimou o primeiro valor para x,
para começar a aplicar a fórmula x2 = x1 - f (x1) / f' (x1) ?
Como você sabe, o usual é estimar esse valor com base no gráfico de f (x),
mas como, neste caso, a resposta é conhecida...

4,5x⁶ - x⁵ - x⁴ - x³ - x² - x - 1

É um polinômio de grau 6, par, que se tiver raízes reais, vai ter uma positiva e outra negativa, mais 4 outras raízes complexas, conjugadas duas a duas.

Como temos somente um coeficiente positivo, o do termo de mais alto grau, eu, independente de qualquer estudo do polinômio, usaria o coeficiente deste termo (4,5), que é, justamente, Vo/P, por saber que a raiz certamente é menor do que ele, que entre a raíz e ele o crescimento é monótono, o que dará uma convergência rápida para o valor da raiz.


Lembre-se de que os polinômios de graus pares e ímpares têm formas parecidas, respectivamente:

Visto esse método ser extremamente trabalhoso, outra pergunta: você usa
algum programa, planilha etc, para fazer toda essa contaiada ou faz tudo
na mão, usando somente calculadora científica?

Eu desenvolvi uma fórmula e a uso com calculadora (normal, científica ou financeira), planilha eletrônica ou qualquer linguagem de programação.

Tenho também a fórmula tabelada que fornece valores de j em função de Vo/P e n com precisão de 6 casas decimais, que fiz para alguns alunos e alunas que gostam de tabelas.

Mas, a melhor forma é usar uma calculadora financeira ou planilha eletrônica. Fazer contaiada é pra máquina...

Caso queira, faço um outro post com o contéudo de como fazer em planilhas eletrônicas e na HP-12C.

rihan escreveu:(V + 25%V) = V(1 + 0,25) = 1,25V

E = 20%(1,25V) = 0,20 . 1,25V = 0,25V

Vo = 1,25V - E = 1,25V - 0,25V = V

P = V/6 = Vo/6

x ≡ (1 + j)

Vo.x⁶ - 0,25Vo.x⁶ - Vox⁵/6 -Vo.x⁴/6 - Vo.x³/6 -Vo.x²/6 -Vo.x/6 - Vo/6  = 0

4,5x⁶ - x⁵ - x⁴ - x³ - x² - x - 1  = 0

A solução numérica (Newton, aproximações sucessivas...):

x ≈ 1,08895

j ≈ 0,08895

j ≈ 8,895 % a.m.

Luiz 2017 escreveu:

rihan escreveu:(V + 25%V) = V(1 + 0,25) = 1,25V

E = 20%(1,25V) = 0,20 . 1,25V = 0,25V

Vo = 1,25V - E = 1,25V - 0,25V = V

P = V/6 = Vo/6

x ≡ (1 + j)

Vo.x⁶ - 0,25Vo.x⁶ - Vox⁵/6 -Vo.x⁴/6 - Vo.x³/6 -Vo.x²/6 -Vo.x/6 - Vo/6  = 0

4,5x⁶ - x⁵ - x⁴ - x³ - x² - x - 1  = 0

A solução numérica (Newton, aproximações sucessivas...):

x ≈ 1,08895

j ≈ 0,08895

j ≈ 8,895 % a.m.

Tendo em vista a população alvo para o qual o fórum é destinado, penso que a resolução pode ser realizada de maneira mais didática e menos enigmática.

Usando a nomenclatura das calculadoras financeiras:

Equação geral de juros para valor presente de séries uniformes postecipadas:

\frac{PV}{PMT} = \frac {1-(1+i)^{-n}}{i}\text{ ....................... (1)}

Se o preço p está majorado em 25%, então, nas contas, o preço efetivamente financiável terá que ser reduzido destes 25%, ou seja:

PV = p - 0,25p = 0,75p 

E mais:

n = 6 meses
PMT = p/6
PV/PMV = (0,75p)/(p/6) = 4,5
i = ?

Substituindo valores em (1):

4,5 = \frac {1-(1+i)^{-6}}{i}\text{ ....................... (2)}

Comparando (1) com (2) vê-se que:

PV = 4,5
PMT = 1

Levando estes valores em:

http://www.mat.ufmg.br/~regi/topicos/calcju.html

tem-se:



O prof. Carlos Alberto Pinheiro, em seu livro "Matemática Financeira", 2005, recomenda como primeira aproximação io = (PMT/PV) - (PV/PMT)/n² = 0,09722 = 9,722%

Clicando em "gerar iterações", o método de Newton dá:



i ≈ 8,895% a.m.

jota-r escreveu:
Olá, Luiz.

Rihan foi talvez o melhor matemático que conheci aqui no fórum. A única restrição que eu fazia a ele era quanto à sua ojeriza ao métodos convencionais na resolução dos exercícios de matemática financeira. Adorava o uso de aplicativos na resolução. Enfatizava com frequência os recursos computacionais do século XXI.

Vira e mexe usava o bordão: "Fazer contaiada é trabalho de máquina". Pecava também pela falta de humildade. Ele era o bom e o resto, ...bem, não passava do resto. Era considerado um verdadeiro ídolo entre os usuários do fórum, o que causava ciúmes a outras
"feras"do pedaço. Chegamos a brigar feio, pela sua prepotência e falta de humildade. Talvez por causa disso, e em decorrência de outros atritos que já tivera com a Administração do fórum, "pegou seu boné" e retirou-se do fórum, para nunca mais voltar. Até hoje lamento sua ausência, pois no fundo o admiro muito.

Quanto ao método de Newton - Raphson, entendo que realmente deve ser discutido em profundidade entre nós, que somos iniciados em matemática financeira, mas sem nenhuma ambição quanto a atender aos anseios do principal público alvo do fórum, que visa tão somente a se preparar para enfrentar vestibulares e concursos.

Sds.

Luiz 2017 escreveu:

jota-r escreveu:
Olá, Luiz.

Quanto ao método de Newton - Raphson, entendo que realmente deve ser discutido em profundidade entre nós, que somos iniciados em matemática financeira, mas sem nenhuma ambição quanto a atender aos anseios do principal público alvo do fórum, que visa tão somente a se preparar para enfrentar vestibulares e concursos.

Sds.

Vejo que, além dos adjetivos que você mencionou, ele era também campeão de postagens, pois quando saiu do fórum tinha já mais de 5000 mensagens.