(PERU)

por dlemos Qui 20 Dez 2012, 11:14

Fatorar A(x,y,z)=x^2(y-z)^3 + y^2(z-x)^3 +z^2(x-y)^3
A resposta é (x-y)(y-z)(z-x)(xy+yz+xz), eu cheguei até (x-y)(y-z)(z-x)(k)=A(x,y,z), do não consigo encontrar k=(xy+yz+xz), então se quiserem podem partir desse ponto.

por **Robson Jr.** Qui 20 Dez 2012, 12:13

dlemos, o enunciado correto não é x^2(x-z)^3 + y^2(z-y)^3 +z^2(x-y)^3 ?

por dlemos Qui 20 Dez 2012, 12:43

Já editei o enunciado Robson, na verdade era (y-z) no lugar de (x-z).

por dlemos Qui 20 Dez 2012, 21:07

Alguém?

por **Robson Jr.** Sáb 22 Dez 2012, 16:34

dlemos, esqueci completamente deste tópico. Foi mal ^^

O modo como a expressão está organizada facilita o teste de algumas raízes, sendo candidatos imediatos x = y, x = z e y = z. Esses valores felizmente anulam o polinômio, indicando que, na fatoração, haverá os fatores (x-y), (x-z) e (y-z).

Expandindo o polinômio, vem:

$\small A(x,y,z)=-x^3y^2+x^2y^3+x^3z^2-y^3z^2-x^2z^3+y^2z^3$

Tentemos colocar (x - y) em evidência:

$\small \\ A(x,y,z)=-x^2y^2(x-y)+z^2(x^3-y^3)-z^3(x^2-y^2) \\ A(x,y,z)=-x^2y^2(x-y)+z^2(x^2+xy+y^2)(x-y)-z^3(x+y)(x-y) \\ A(x,y,z)=(x-y)(-x^2y^2+x^2z^2+xyz^2+y^2z^2-xz^3-yz^3) \\$

Agora, (x - z):

$\small \\ A(x,y,z)=(x-y)(-x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2-xz^3+xyz^2-yz^3) \\ A(x,y,z)=(x-y)(-y^2(x^2-z^2)+xz^2(x-z)+yz^2(x-z)) \\ A(x,y,z)=(x-y)(-y^2(x+z)(x-z)+xz^2(x-z)+yz^2(x-z) \\ A(x,y,z)=(x-y)(x-z)(-xy^2-y^2z+xz^2+yz^2)$

Finalmente, (y - z):

$\small \\ A(x,y,z)=(x-y)(x-z)(-xy^2+xz^2-y^2z+yz^2)\\ A(x,y,z)=(x-y)(x-z)(-x(y^2-z^2)-yz(y-z)) \\ A(x,y,z)=(x-y)(x-z)(-x(y+z)(y-z)-yz(y-z)) \\ {\color{Red} A(x,y,z)=(x-y)(x-z)(y-z)(-xy-xz-yz)}$

Minha resposta é igual àquela do gabarito, basta multiplicar os dois últimos fatores por -1.