Fundamentos de Matemática Elementar (Samuel Hazzan) volume cinco, edição de 1977 - Binômio de Newton.

por GercinoNogueira Qua 05 Dez 2012, 22:33

TE. 102 (CESCEM-74) O coeficiente do termo independente de x no desenvolvimento de (x - 1/x)^517 é:

a) C517, 259

b) C517, 258

c) - C517, 259

d) 0

e) 1

OBS: O gabarito afirma que a resposta é a letra d. Eu não consegui responder esta questão. Por favor, gostaria muito da resolução. Um forte abraço a todos!

por **JoaoGabriel** Qua 05 Dez 2012, 23:22

Questão batida.

A situação é:

$\\(x - \frac {1}{x})^{517}$

Temos que:

$(a + b)^n =\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$

Então, aplicando:

$\\(x - \frac {1}{x})^{517} = \sum_{k=0}^{157}\binom{517}{k}(x)^{517- k}({-\frac {1}{x}})^k$

''Ignorando'' o binomial e a soma, desenvolvendo apenas a potência, vem:

$\\(x)^{517- k}({-\frac {1}{x}})^k = - (x)^{517- k}{x}^{-k} = - x^{517- 2k}$

Como queremos termo independente:

$517- 2k = 0 \to k = \frac {517}{2}$

Com isso, chegamos à conclusão que k não é inteiro, contrariando este princípio do binômio. Dessa forma não há termo independente, logo seu coeficiente é zero.

Letra d mesmo

por **JoaoGabriel** Qua 05 Dez 2012, 23:29

PS talvez você se confunda com esse k que eu usei. A maioria dos livros e pessoas usa p, usam n e p. Mas eu prefiro o k, é a mesma coisa Very Happy

por GercinoNogueira Qui 06 Dez 2012, 00:35

Grande João Gabriel, muito obrigado pela sua resolução. Eu tinha chegado na mesma, só que eu pensei que deveria ter uma letra oferecendo ao estudante a opção de marcar ''não existe termo independente''. Ao estar no gabarito o resultado número zero, eu pensei que tinha errado em algo. Agradeço-te novamente. Um forte abraço pra ti!

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