Problema em Potencial

por williamrota Qui 25 Out 2012, 19:19

Considere as cargas elétricas q1 = 1C , situada em x = -2m, e q2 = -2C, situada em x = -8 m. Então, o lugar geométrico dos pontos de potencial nulo é:

a) Uma esfera que corta -4 m, e 4 m
b) Uma esfera que corta o eixo x nos pontos x = -16m e x = 16 m
c) Um elipsoide que corta o eixo x nos pontos -4 m 16 m
d) Um hiperboloide que corta o eixo x no ponto x = -4
e) Um plano perpendicular ao eixo x que corta no ponto x = -4.

Obs: Achei que fosse a letra e, mas fiz no ''chute''. Imagino que não haja padrão em relação a distancia dos pontos nulos além desse: D2p = -2*D1p
p é um ponto do lugar geométrico.
Mas também não entendo o porquê de não ser uma mediatriz, já que nela as distâncias repetirão de padrão D2p = -2*D1p...
A resposta é a letra A, alguém me ajuda?

por **Robson Jr.** Qui 25 Out 2012, 20:32

O potencial gerado pelas cargas num ponto genérico de coordenadas (x,y,z) vale:

$\small V=V_1+V_2=\frac{9.10^9.1}{\sqrt{(x+2)^2+y^2+z^2}}-\frac{9.10^9.2}{\sqrt{(x+8 )^2+y^2+z^2}}$

Igualando a zero, vem:

$\small \frac{9.10^9.1}{\sqrt{(x+2)^2+y^2+z^2}}-\frac{9.10^9.2}{\sqrt{(x+8 )^2+y^2+z^2}}=0 \\\\ \Rightarrow \ (x+8 )^2+y^2+z^2=4((x+2)^2+y^2+z^2) \\ \Rightarrow \ x^2+16x+64+y^2+z^2=4x^2+16x+16+4y^2+4z^2 \\ \Rightarrow \ 48=3x^2+3y^2+3z^2 \\ \Rightarrow \ x^2+y^2+z^2=4^2$

Esfera de centro (0, 0, 0) e raio 4. Letra a).

Obs.: Essa foi uma solução por geometria analítica. Se o problema se desse num plano, poderíamos usar a razão entre as distâncias juntamente com o conceito de "Círculo de Apolonio" e chegar à resposta em poucas linhas. Não sei se existe uma "esfera de apolonio"... Smile

por williamrota Qui 25 Out 2012, 20:46

Muito bom, valeu =)

por IsaacR2 Seg 31 Jul 2017, 14:06

Robson Jr. escreveu:O potencial gerado pelas cargas num ponto genérico de coordenadas (x,y,z) vale:

$\small V=V_1+V_2=\frac{9.10^9.1}{\sqrt{(x+2)^2+y^2+z^2}}-\frac{9.10^9.2}{\sqrt{(x+8 )^2+y^2+z^2}}$

Igualando a zero, vem:

$\small \frac{9.10^9.1}{\sqrt{(x+2)^2+y^2+z^2}}-\frac{9.10^9.2}{\sqrt{(x+8 )^2+y^2+z^2}}=0 \\\\ \Rightarrow \ (x+8 )^2+y^2+z^2=4((x+2)^2+y^2+z^2) \\ \Rightarrow \ x^2+16x+64+y^2+z^2=4x^2+16x+16+4y^2+4z^2 \\ \Rightarrow \ 48=3x^2+3y^2+3z^2 \\ \Rightarrow \ x^2+y^2+z^2=4^2$

Esfera de centro (0, 0, 0) e raio 4. Letra a).

Obs.: Essa foi uma solução por geometria analítica. Se o problema se desse num plano, poderíamos usar a razão entre as distâncias juntamente com o conceito de "Círculo de Apolonio" e chegar à resposta em poucas linhas. Não sei se existe uma "esfera de apolonio"...

Amigo, onde posso encontrar essa formula que vc usou com coordenadas tridimensionais? não entendi como vc chegou a:

$\small V=V_1+V_2=\frac{9.10^9.1}{\sqrt{(x+2)^2+y^2+z^2}}-\frac{9.10^9.2}{\sqrt{(x+8 )^2+y^2+z^2}}$

por **Elcioschin** Seg 31 Jul 2017, 16:13

Potencial de uma carga pontual num ponto distante R dela: V = k.q/R

R² = (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² ---> Geometria Analítica tridimensional

Carga 1 ---> a = -2, b = 0, c = 0
Carga 2 ---> a = -8, b = 0, c = 0