sistema linear
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sistema linear
por rodrigomr Ter 04 Set 2012, 15:39
O sistema
{2x-y+z=0
{x-2y+3z=0
{3x-z=0
a)tem uma única solução
b)não tem soluções reais
c)tem três soluções distintas
d)tem infinitas soluções reais
e)n.d.a
gabarito: d
{2x-y+z=0
{x-2y+3z=0
{3x-z=0
a)tem uma única solução
b)não tem soluções reais
c)tem três soluções distintas
d)tem infinitas soluções reais
e)n.d.a
gabarito: d
rodrigomr- Mestre Jedi
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Re: sistema linear
por Jose Carlos Ter 04 Set 2012, 16:16
{2x-y+z=0
{x-2y+3z=0
{3x-z=0
| 2..... -1.......1......0 |
| 1..... -2.......3......0 |
| 3.......0....... -1....0 |
trocando pprimeira linha pela segunda
| 1..... -2.......3......0 |
| 2..... -1.......1......0 |
| 3.......0..... -1......0 |
segunda linha recebe segunda linha + primeira*(-2)
| 1..... -2.......3......0 |
| 0...... 3...... -5.....0 |
| 3.......0..... -1......0 |
terceira linha recebe terceira linha + primeira*(-3)
| 1..... -2.......3......0 |
| 0...... 3...... -5.....0 |
| 0.......6.....-10.....0 |
terceira linha recebe terceira linha + segunda*(-2)
| 1..... -2.......3......0 |
| 0...... 3...... -5.....0 |
| 0.......0....... 0.....0 |
daí, sistema possível indeterminado.
3y - 5z = 0 => z = (3/5)y
x - 2y + 3z = 0 -> x - 2y + 3*(3/5)y = 0
x = 2y - (9/5)y
y = 5x
z = (3/5)y => z = 3x
todas as triplas da forma:
( x, 5x, 3x ) para x real são soluções do sistema.
{x-2y+3z=0
{3x-z=0
| 2..... -1.......1......0 |
| 1..... -2.......3......0 |
| 3.......0....... -1....0 |
trocando pprimeira linha pela segunda
| 1..... -2.......3......0 |
| 2..... -1.......1......0 |
| 3.......0..... -1......0 |
segunda linha recebe segunda linha + primeira*(-2)
| 1..... -2.......3......0 |
| 0...... 3...... -5.....0 |
| 3.......0..... -1......0 |
terceira linha recebe terceira linha + primeira*(-3)
| 1..... -2.......3......0 |
| 0...... 3...... -5.....0 |
| 0.......6.....-10.....0 |
terceira linha recebe terceira linha + segunda*(-2)
| 1..... -2.......3......0 |
| 0...... 3...... -5.....0 |
| 0.......0....... 0.....0 |
daí, sistema possível indeterminado.
3y - 5z = 0 => z = (3/5)y
x - 2y + 3z = 0 -> x - 2y + 3*(3/5)y = 0
x = 2y - (9/5)y
y = 5x
z = (3/5)y => z = 3x
todas as triplas da forma:
( x, 5x, 3x ) para x real são soluções do sistema.
____________________________________________
...se acupuntura adiantasse, porco-espinho viveria para sempre....
Jose Carlos- Grande Mestre
- Mensagens : 5551
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Idade : 74
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Re: sistema linear
por Iago6 Ter 04 Set 2012, 17:07
Fiz de uma outra forma, se eu n tiver errado em nenhuma conta, é isso.
R_2=R_2} & \\ \mathrm{ R_3 - 6R_1 =R_3}& \end{matrix}\right. \\\\ \\ \begin{vmatrix} 1 & 0& -\frac{1}{3} &0 \\ 0&1 & -\frac{5}{3} &0 \\ 0& 0 & 2& 0 \end{vmatrix}\left| \begin{matrix} \mathrm{R_1 - \left (\frac{1}{6} \right )R_3 =R_1}\\ \mathrm{R_2 + \frac{5}{6}R_3=R_2}\\ \mathrm{\left (\frac{1}{2} \right )R_3 = R_3} \end{matrix}\right. "\mathbf{POR \; GAUS-JORDAN:} \\\\ \begin{vmatrix} 2 & -1& 1 &0 \\ 1&-2 &3 &0 \\ 3& 0 & -1 & 0 \end{vmatrix} \left| \begin{matrix} \mathrm{R_1 - R_2 = R_1}& \\ \mathrm{R_2 - \frac{1}{2}R_1=R_2}& \\ \mathrm{R_3 - 3R_2 =R_3} \end{matrix}\right. \\\\\ \\ \begin{vmatrix} 1 & 1& -2 &0 \\ 0&- \frac{3}{2} & \frac{5}{2} &0 \\ 0& 6 & -10 & 0 \end{vmatrix}\left| \begin{matrix} \mathrm{ R_1 - \frac{1}{6}R_3 =R_1}& \\ \mathrm{ \left (\frac{-2}{3} \right )R_2=R_2} & \\ \mathrm{ R_3 - 6R_1 =R_3}& \end{matrix}\right. \\\\ \\ \begin{vmatrix} 1 & 0& -\frac{1}{3} &0 \\ 0&1 & -\frac{5}{3} &0 \\ 0& 0 & 2& 0 \end{vmatrix}\left| \begin{matrix} \mathrm{R_1 - \left (\frac{1}{6} \right )R_3 =R_1}\\ \mathrm{R_2 + \frac{5}{6}R_3=R_2}\\ \mathrm{\left (\frac{1}{2} \right )R_3 = R_3} \end{matrix}\right.")
R_3 =R_1}\\ \mathrm{R_2 + \frac{5}{6}R_3=R_2}\\ \mathrm{\left (\frac{1}{2} \right )R_3 = R_3} \end{matrix}\right. \\\\\ \\ \begin{vmatrix} 1 & 0& 0 &0 \\ 0&1 & 0 &0 \\ 0& 0 & 1& 0 \end{vmatrix} \longrightarrow \textrm{Sistema homogêneo.} "\\ \begin{vmatrix} 1 & 0& -\frac{1}{3} &0 \\ 0&1 & -\frac{5}{3} &0 \\ 0& 0 & 2& 0 \end{vmatrix}\left | \begin{matrix} \mathrm{R_1 + \left (\frac{1}{6} \right )R_3 =R_1}\\ \mathrm{R_2 + \frac{5}{6}R_3=R_2}\\ \mathrm{\left (\frac{1}{2} \right )R_3 = R_3} \end{matrix}\right. \\\\\ \\ \begin{vmatrix} 1 & 0& 0 &0 \\ 0&1 & 0 &0 \\ 0& 0 & 1& 0 \end{vmatrix} \longrightarrow \textrm{Sistema homogêneo.}")
Todo sistema homogêneo tem solução. Seja somente trivial ou
infinitas soluções
Todo sistema homogêneo tem solução. Seja somente trivial ou
infinitas soluções
Iago6- Fera
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