EFOMM - Números Complexos

por Jônatas Arthur De F. L. Qua 08 Ago 2012, 11:06

Qual é o menor valor do número positivo n para que (√3 + i)^n, onde i é a unidade imaginária, seja um número real?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

por **Robson Jr.** Qua 08 Ago 2012, 11:59

$\small (\sqrt{3}+i)^n=2^n.\left ( \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i \right )^n=2^n. \left (cis \left (\frac{\pi}{6} \right ) \right )^n=2^n.cis\left ( \frac{n\pi}{6} \right )$

Fazendo a parte imaginária ser nula:

$\small sen\left ( \frac{n\pi}{6} \right )=0 \Leftrightarrow \frac{n\pi}{6} =0 \ ou \ \frac{n\pi}{6}=\pi \Leftrightarrow n=0 \ ou \ n=6 \text{ (1ª volta)}$

Letra E

por **hygorvv** Qua 08 Ago 2012, 12:01

Sendo w=√3 + i <-> w^n=(√3 + i)^n, pela fórmula de De Moivre, vem:
w^n=2^ncis(n.π/6+2kπ)
Para ser um número real, temos:
isen(n.π/6+2kπ)=0
como queremos o menor e positivo (n≠0)
sen(nπ/6)=0
sen(nπ/6)=sen(π)
nπ/6=π
n=6
Espero que seja isso e que te ajude.