Números Complexos Efomm 2015

por MarianaAraujoBrando Qui 23 Jul 2015, 16:59

Considere o numero complexo z1 diferente de 1, tal que z1 seja a solução da equação z^6 =1 com menor argumento positivo. A solução z2 da mesma equação cujo argumento é o triplo do argumento de z1, é igual a :

por _TNY_ Qui 23 Jul 2015, 17:32

Vamos chamar de w=z^6, assim temos:

|w|=1

sen(θ)=0

cos(θ)=1

portanto, θ=0º

Pela 2º fórmula de Moivre temos:

$z_{1}=\sqrt[6]{1}\left ( cos\left ( \frac{0+2k\pi}{6} \right ) isen\left ( \frac{0+2k\pi}{6} \right )\right )$ , com k=0,1,2,3,4,5 (as 6 soluções)

Para k=0:

$z_{1}=\sqrt[6]{1}\left ( cos\left ( \frac{0}{6} \right )+ isen\left ( \frac{0}{6}\right )\right )= cos0 + isen0$

k=1

$z_{1}=\sqrt[6]{1}\left ( cos\left ( \frac{\pi}{3} \right )+ isen\left ( \frac{\pi}{3}\right )\right )$

k=2

$z_{1}=\sqrt[6]{1}\left ( cos\left ( \frac{2\pi}{3} \right )+ isen\left ( \frac{2\pi}{3}\right )\right )$

k=3

$z_{1}=\sqrt[6]{1}\left ( cos\(\pi) + isen\left ( \pi )$

k=4

$z_{1}=\sqrt[6]{1}\left ( cos\left ( \frac{4\pi}{3} \right ) isen\left ( \frac{4\pi}{3} \right )\right )$

k=5

$z_{1}=\sqrt[6]{1}\left ( cos\left ( \frac{5\pi}{3} \right )+ isen\left ( \frac{5\pi}{3} \right )\right )$

Perceba que o k=1, é a solução de Z1 que apresenta o menor argumento positivo.
Então $z_{1}=\sqrt[6]{1}\left ( cos\left ( \frac{\pi}{3} \right )+ isen\left ( \frac{\pi}{3}\right )\right )$ = $\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$

Z2 é a solução de z tal que seja o triplo do argumento de z1, isso ocorre somente para k=3.
Assim $z_{1}=\sqrt[6]{1}\left ( cos\(\pi) + isen\left ( \pi )$ = -1

É isso aí, não têm alternativas nem gabarito?

por MarianaAraujoBrando Qui 23 Jul 2015, 17:39

Tem sim, pelo gabarito a resposta é menos -1, vou tentar entender o raciocínio
Smile

obrigada

por **Ashitaka** Qui 23 Jul 2015, 17:41

z₁ = cis(π/3), ∴ z₂ = cis(π) = -1.

por MarianaAraujoBrando Ter 28 Jul 2015, 15:00

Nao entendi porque porque o seno = 0
e o coseno = 1

por **fantecele** Ter 28 Jul 2015, 15:15

cosseno = 1 e seno = 0 é por causa do argumento do número complexo z = 1

z = a + bi pode ser escrito como z =|z|(cos(@) + isen(@))

para o z = 1 z = 1(cos(0) + isen(0)) : cos(0) = 1 e sen(0) = 0

acho que deu para entender.

por letttrindade Qui 21 maio 2020, 12:14

As contas não aparecem, somente os códigos, como proceder?

por **Elcioschin** Qui 21 maio 2020, 12:29

Os cálculos do colega _TNY_ estão escritos em LaTeX. Eu estou vendo normalmente. Deve ser problema no seu PC.

Vou digitar a 1ª fórmula e depois vc faz os cálculos para k = 0, 1, 2, 3, 4, 5

z₁ = ⁶√1.{cos[(0 + 2.k.pi)/6] + i.sen[(0 + 2.k.pi)/6]}

O importante á calcular para k = 1 e k = 3
Vc verá que k = 1 corresponde a um ângulo pi/3 e k = 3 a um ângulo pi

z1 = cospi + i.senpi ---> z1 = -1