(ITA) Valor mínimo

Me ajudem por favor!

A curva y= ax² + bx + c passa pelos pontos (1;1), (2;m) e (m;2), onde m ∈ R - {2}. Determine todos os valores reais de m tal que a função admita valor mínimo. Resp: 0 < x < 1

Obrigada!

A curva y= ax² + bx + c passa pelos pontos (1;1), (2;m) e (m;2), onde m ∈ R - {2}. Determine todos os valores reais de m tal que a função admita valor mínimo. Resp: 0 < x < 1
y= ax² + bx + c
(1;1), (2;m) e (m;2)
Substituindo:
1 = a + b + c
m = 4a + 2b + c
2 = m²a + mb + c

Escalonando:

4a + 2b + c = m
-a - b - c = -1 +
-----------------------------
3a + b = m - 1 (I)


m²a + mb + c = 2
-a - b - c = -1 +
-----------------------------
a(m² - 1) + b(m - 1) = 1 (II)

De (I) e (II):

a(m² - 1) + b(m - 1) = 1
3a + b = m - 1 .[-(m-1)]

a(m² - 1) + b(m - 1) = 1
-3a(m - 1) - b(m - 1) = -(m - 1)(m-1) +
--------------------------------------------------
a(m² - 1) -3a(m - 1) = 1 - (m - 1)²

Colocando "a" em evidência:

a(m² - 1 - 3m + 3) = 1 - (m - 1)²
a(m² - 3m + 2) = 1 - m² + 2m - 1
a(m² - 3m + 2) = - m² + 2m
a = (-m² + 2m)/(m² - 3m + 2)
Como deve haver valor mínimo, concavidade voltada para cima, ou seja, a > 0
(-m² + 2m)/(m² - 3m + 2) > 0
[-m(m - 2)]/[(m - 2)(m - 1)] > 0
Simplificando:
-m/(m-1) > 0
m/(m-1) < 0

Resolvendo essa inequação quociente, teremos:

0 < x < 1

Que é a resposta. Espero ter ajudado. Abraços.

Muito obrigada Matheus!