O valor minimo de...

por Naah_87 Qui 06 Mar 2014, 16:29

O valor minimo de (x+1/x)^6-(x^6+1/x^6)-2/(x+1/x)^3+(x^3+1/x^3), para x>0 é igual a :
a)1
b)3
c)4
d)6
e)80

por Luck Sex 07 Mar 2014, 01:49

Olá Naah_87, procure separar por mais parênteses ou colchetes para evitar ambiguidade..
S = [(x+1/x)^6-(x^6+(1/x^6)-2)]/[(x+1/x)³+ ( x³+ (1/x³) )]
Seja x + (1/x) = t
[x+(1/x)]³ = x³ + (1/x³) + 3(x+1/x) ∴ x³ + (1/x)³ = t³ - 3t
[x³ + (1/x)³]² = x^6 + (1/x^6) + 2 ∴ x^6 + (1/x^6) = (t³-3t)² - 2

S = (t^6 - (t³-3t)² + 2 - 2) / ( t³ + t³-3t )
S = [(t³)² - (t³-3t)²] / (2t³ - 3t)
S = (2t³-3t)3t/(2t³-3)
S = 3t
S = 3[x + (1/x)]
M.A ≥ M.G ∴ (x + (1/x) )/2 ≥ √[x(1/x)] ∴ x + (1/x) ≥ 2
S ≥ 6 , valor mínimo: S = 6

por Naah_87 Sex 07 Mar 2014, 21:10

Valeu!!!

por **Elcioschin** Sex 07 Mar 2014, 22:24

Um modo mais simples
Devemos ter apenas x > 0
Façam então x = 1 e calculem fácil, fácil
Sei que não é um método ortodoxo, mas num vestibular ganhar-se-ia um tempo precioso

por PedroCunha Sex 07 Mar 2014, 22:46

Élcio, mas o que garante que x deve ser natural?

por **Elcioschin** Sáb 08 Mar 2014, 09:39

Pedro

O enunciado NÃO garante que x seja natural
Mas também não proíbe que seja!!! A única exigência é que x > 0.

Eu escolhi o valor x = 1 porque a conta fica super simples:

(1 + 1/1)^6 - (1^6 + 1/1^6) - 2 .... 2^6 - 2 - 2 ..... 60
-------------------------------------- = --------------- = ---- = 6
...(1 + 1/1)³ + (1³ + 1/1³) .............. 2^3 + 2 ...... 10

Luck

Houve uma pequena falha nas suas contas, na terceira linha:

(x + 1/x)³ = x³ + 3.(x + 1/x) + 1/x³ --> t³ = x³ + 3.t + 1/x³ --> x³ + 1/x³ = t³ - 3t

por Luck Sáb 08 Mar 2014, 14:42

Elcioschin escreveu:Pedro

O enunciado NÃO garante que x seja natural
Mas também não proíbe que seja!!! A única exigência é que x > 0.

Eu escolhi o valor x = 1 porque a conta fica super simples:

(1 + 1/1)^6 - (1^6 + 1/1^6) - 2 .... 2^6 - 2 - 2 ..... 60
-------------------------------------- = --------------- = ---- = 6
...(1 + 1/1)³ + (1³ + 1/1³) .............. 2^3 + 2 ...... 10

Luck

Houve uma pequena falha nas suas contas, na terceira linha:

(x + 1/x)³ = x³ + 3.(x + 1/x) + 1/x³ --> t³ = x³ + 3.t + 1/x³ --> x³ + 1/x³ = t³ - 3t

É verdade, já editei.
Elcio, mas eu poderia ter jogado x = 0,5 por exemplo e obteria S = 15/2 que não é mínimo ou x = 3 e obteria S = 10. Escolher x = 1 porque a conta fica simples não garante que este seja o valor mínimo da expressão, é um valor arbitrário que por sorte é o mínimo neste caso. Em questões de máximo e mínimo chutar valores é perigoso..