Problema EN

Relembrando a primeira mensagem :

Um balão sobe verticalmente com uma velocidade constante igual a 600 m/min. Em um dado momento cai do balão uma bomba, a qual, atingindo o solo, explode. A explosão é ouvida, 12s após a partida da bomba, por um observador que se encontra no balão. Pede-se a altura deste, no instante em que foi abandonada a bomba. Supor que a velocidade do som é de 330 m/s e que a aceleração da gravidade no local vale 10m/s². Supor também desprezível a resistência do ar.

Enrosquei neste problema há algum tempo, e continuo sem achar a solução certa. Se alguém puder ajudar, agradeço desde já.

A resposta é 400m

Uma prévia:

rihan , creio que se nós tivessemos que pensar nessas funções na hora da prova , nós não teriamos tempo nem sequer para resolver essa questão... , lembre que é da EN , isso ai ja ta passando pra nivel olimpico .

só uma duvida , vcs ja perceberam que a velocidade do som ta 330m/s ? e o correto aproximado séria 340,29 ~ 340m/s ? , ta... a altura vai da maior
mas se vc pegar a equaçao final

10 +10√(2H+10)/√10 + H = 250(11 - √(2H+10)/√10)

e por 250m/s , da certinho 400m , ahahahaha , o q seria impossivel a velocidade relativa ser isso, só se a velocidade do balao for maior que 10m/s e o cara errou digitando , imagina se o autor , quis nos "zuar" e alterou os dados ...

A velocidade do som no ar depende da densidade do ar, que depende de temperatura e pressão.

Quanto mais alto, a temperatura e a pressão diminuem , diminuido a densidade, diminuindo a velocidade.

Podemos SEMPRE substituir qualquer função doida de velocidade pela velocidade média, que é uma constante para aquele espaço percorrido naquele tempo determinado, substituindo o movimento doidão por um uniforme.

Quanto ao autor, estranhamente, até hoje não se pronunciou...

Quanto ao tempo em prova, não é a questão da questão do tópico para mim.

Esta questão é importantíssima pelos conceitos embutidos:

Conservação da Quantidade de Movimento e Energia, delimitação de "sistemas", referenciais inerciais e não inerciais, relatividade restrita e geral, movimentos relativos, criatividade na resolução, método científico e outros conceitos físico-matemáticos primordiais...

Eis a questão.

Euclides escreveu:Vamos então prosseguir o exercício teórico, que alguma coisa sempre se aprende. Aprender é sempre "lucro".

1- Sobre a quantidade de movimento:

esta é uma grandeza que ,quando permanece invariável, o faz apenas no imediato instante após um choque mecânico, ou separação de massas por ação de uma força interna ao sistema que as contém. Após a efetiva separação ou choque, cada fragmento ou parte tem vida independente. Daí para a frente o que acontecer a uma delas não afeta a outra.

Enquanto a bomba está no balão tem a mesma velocidade do conjunto. Suponha que essa bomba seja solta simplesmente abandonada do lado de fora da cesta. Se nenhuma força houvesse a bomba prosseguiria ao lado do balão para sempre. O que isto quer dizer é que a quantidade de movimento seria preservada (e é seguramente), mantendo ambos a mesma velocidade. Com ou sem gravidade, a quantidade de movimento se conserva e as velocidades de balão e bomba não se alteram apenas por conta de sua separação.

Isso de fato não vai ocorrer se levarmos em conta que a bomba adquire uma aceleração para baixo (g) e o balão, aliviado de uma carga vai acelerar-se para cima. Cada um agora tem destino independente. A bomba sobe ainda um tanto (por mais 1 segundo) e descreve um arco de parábola caindo.

2- aparece uma resultante não nula:

O balão, cujo empuxo não se altera, perde o equilíbrio dinâmico ao ter sua massa reduzida. Se M é a massa do balão e m a massa da bomba:



logo depois temos uma resultante não nula



a aceleração do balão passa a ser



e é aí que a coisa "empaca". Se não conhecermos a relação entre massa da bomba e massa do balão jamais poderemos concluir sobre a aceleração adquirida. Não teremos meios de prosseguir. É por esta razão que não me ocorre considerar significativa a massa da bomba.

Não sei como encontrar os tais 400m. Gostaria de ver uma solução numérica que chegasse a isso.

Parceiro, Amigo e Grande Mestre Euclides,

Creio estar existindo uma confusão ou distração de sua parte ou, então, você não se expressou convenientemente.

Então, vou postar aqui esses esclarecimentos para a sua análise e comentários.

Vamos lá, continuando o exercício...


DEFINIÇÃO

Momentum, Momentum Linear, Momentum Translacional ou, nas línguas latinas, Quantidade de Movimento de uma partícula com massa "m" e velocidade vetorial "v" é uma grandeza vetorial definida por:


p ≡ m.v


HISTÓRIA

Uma noção intuitiva e popular do cotidiano, objeto de estudo dos antigos filósofos gregos e orientais, desde o famoso grego Aristóteles (~300 A.C.) ao gigantesco polímata e filósofo neoplatônico egípcio João Filopono (João, o Gramático; João de Alexandria, Yahya Al Nahwi (árabe) = João o Trabalhador ~500 D.C.), a noção foi se tornando mais quantitativa. Filopono rebatia os argumentos de Aristóteles em relação ao movimento de corpos em queda livre, da mesma forma que Galileo, vários séculos mais tarde, comprovaria experimentalmente. Como não havia naquela época distinção entre massa e peso, esta quantidade já era aceita como sendo o produto entre o peso e a velocidade e denominada por "impetus" por João Buridan, filósofo e padre francês (conhecido geralmente pelo "Paradoxo de Buridan" ou "Paradoxo do Asno" ) que iniciou o caminho para os outros gigantes mais, como Descartes e Galileo, a quem assim se referia o monumental Newton, que condensou magistralmente e matematicamente todo o conhecimento da época , mesmo "tendo que inventar" (independentemente de Leibiniz) o conceito de deirivadas para expressar suas idéias. Ele que cunhou o termo "quantidade de movimento" —quantitas motus — em 1687.

Em 1699, John Keill usa a única palavra "momentum" (momento) pela primeira vez e, em 1721 Jenning já se referia a palavra "momentum" e, assim, já era conhecida pela Academia inglesa 4 anos antes da última edição da obra de Newton — Principia Mathematica.

Os países de línguas latinas não criaram um nome único, usando até hoje o termo composto "quantidade de movimento". Alguns países usam o termo Ímpeto enquanto outros usam confusamente até a palavra Impulso ou Impulsão.

No Brasil, deixamos a palavra "momento" ou "momento de uma força" para o "torque", termo esse que considero bem mais apropriado e que deveria ser oficialmente normatizado juntamente com "Momento" substituindo "Quantidade de Movimento" ou "Momento Linear" e, finalmente, mantendo-se Momento Angular para o momento rotacional, continuando a taxa de variação de momentum entre dois instantes como sendo o Impulso Médio.

PRINCÍPIO UNIVERSAL

" A QUANTIDADE DE MOVIMENTO DO(S) UNIVERSO(S) É CONSTANTE "

Consiste, atualmente, num dos únicos princípios Universais filosoficamente e experimentalmente aceito pela Academia.

Desse simples e grandioso princípio — que Newton não enunciou, pois já o conhecia e o aceitava — que todas as "Mêcanicas" atuais (Clássica, Relativística, Eletromagnetismo, Quântica) são provenientes.

Com a introdução generalizada de vetores e tensores no final do Século XIX e início do Século XX, ficou ainda "mais matemático" e operacional o conceito.

Um sistema isolado é um constructo humano que idealiza um sistema sujeito somente às interações entre as partes que o compõe. Por interação podemos entender "força" ou, o que é mais atual: "campo".

O sistema isolado mais simples é constituído de duas partículas sujeitas somente às suas interações mútuas. Não existem forças externas (campos externos, influências externas). Idealmente é a nossa "delimitação" de Universo, o nosso "Universo de Discurso".

Sejam:

m, v e M, V : as massas e os vetores velocidade das duas partículas respectivamente.

p e P : os momentos (momenta) das partículas

As massas constantes.

Momentos e velocidades são funções do tempo.

Utilizando-se do ÚNICO PRINCÍPIO NECESSÁRIO PARA A MECÂNICA CLÁSSICA:

p + P = constante

m.v + M.V = k

Isso que dizer que A QUALQUER TEMPO, num sistema isolado, não há variação da quantidade de movimento total do sistema.


A "1ª LEI DE NEWTON"

Vamos chamar a quantidade de movimento total de Q.

Esmiuçando-se mais:


∆Q := Variação da quantidade total de momentum entre dois instantes.

Q(1) ≡ M.V1 + m.v1

Q(2) ≡ M.V2 + m.v2

∆Q ≡ Q(2) - Q(1)

∆Q = M(V2 - V1) + m(v2 - v1)

∆Q = M.∆V + m.∆v = 0


Para o vetor ∆Q não variar com o tempo ele precisa de:

1) Manter o mesmo módulo (intensidade) o tempo todo --> MÓDULO DA VELOCIDADE CONSTANTE (OU UNIFORME)

2) Manter a mesma direção e o mesmo sentido sentido --> TRAJETÓRIA RETILÍNEA --> MRU


Se não há variação de momentum, então NÃO EXISTE FORÇA RESULTANTE EXTERNA agindo no sistema.

Isso nada mais é do que chamamos atualmente de "1ª LEI DE NEWTON" ou "LEI DA INÉRCIA".

Infelizmente, uma lástima mesmo, no E.M. e mesmo nas Engenharias, isso não é enfatizado e, simplesmente, aprendemos "quantidade de movimento" e "impulso" para resolvermos problemas de choques, explosões e propulsões, tranferências de massa e energia e assemelhados.

A ilusão de que os discentes do EM são incapazes de compreender a simplicidade e a necessidade das derivadas e integrais como ferramentas úteis e necessárias perdura há quase 5 séculos !!!! Uma enorme estupidez !!!!

Mas, vamos lá...


A 2ª e 3ª "LEIS DE NEWTON"


∆Q/∆t := Taxa deVariação Média da Quantidade Total de momentum entre dois instantes.

Fazendo-se ∆t sempre menor (tendendo mas nunca chegando a zero) temos, o que se chama hoje de:

Função Derivada de Q(t) ( ou Derivada da Função Q(t) ou, simplesmente, Derivada de Q(t) ) em relação a "t".

Que nada mas é do que a taxa de variação instantânea da quantidade total de movimento.

Simboliza-se a definição assim:


lim[∆t-->0](∆Q/∆t) ≡ dQ/dt ≡ Q'


Observações Sobre As Notações de Derivada:

dQ/dt : Notação de Leibniz

Q' : Notação de Lagrange

  or   : Notação de Euler.
Para indicar que era uma derivada em relação ao tempo, Newton usava um ponto (.) em cima da letra da função em vez da "linha" (apóstrofo) ao lado da letra, da notação de Lagrange, a qual deixava implícto ser a derivação em relação à variável independente, podendo ser o tempo ou não:



A mais explícita, para mim, é a notação de Leibniz.

Nela, simplesmente troca-se o "∆" ("D" maiúsculo grego) pelo "d" ("D" minúsculo latino).


Ora, o princípio nos diz que Q não varia com o tempo. Então, não interessa se o intervalo de tempo é enorme ou ínfimo, logo:


∆Q = 0

∆Q/∆t = 0

dQ/dt = 0


Para as massas constantes no tempo, temos:


∆Q = M.∆V + m.∆v

∆Q/∆t = M.∆V/∆t + m.∆v/∆t


Definindo-se a taxa de variação da velocidade entre dois instantes no tempo como sendo ACELERAÇÃO MÉDIA ( a) :


∆Q/∆t = M.A + m.a


No limite de ∆t tendendo a zero, teremos:


dQ/dt = M.dV/dt + m.dv/dt


Definindo-se a variação instantânea da velocidade como sendo ACELERAÇÃO (instantânea) ( a ):


dQ/dt = M.A + m.a


Definindo-se o produto entre massa e aceleração como FORÇA:


F := Interação da partícula de massa "m" em "M" (força em "M" devido a "m")

f := Interação da partícula de massa "M" em "m" (força em "m" devido a "M")

F = M.A

f = m.a <-- "2ª LEI DE NEWTON" ou "LEI DA DEFINIÇÃO DE FORÇA"

dQ/dt = F + f


Lembrando-se de que:


dQ/dt = 0


Então:


F + f = 0

F = -f <-- "3ª LEI DE NEWTON" ou "LEI DA AÇÃO E REAÇÃO"


Pensando-se numa partícula sob a ação de FORÇAS EXTERNAS AO SISTEMA, se a soma resultante dessas forças R for diferente de zero, então, haverá variação do seu momentum:


∆p ≠ 0 -->R ≠ 0 --> R = m.a


Se for um corpo constituído por partículas, "m" representa a soma das massas de todas as partículas.


O IMPULSO


Existindo uma força externa "F" constante ( vetorialmente ! ) agindo num intervalo de tempo "∆t" sobre uma partícula de massa "m", teremos:


F.∆t = m.a.∆t


Como a força é vetorialmente constante:


a = a

a ≡ ∆v/∆t = a

∆v = a.∆t


Temos, então:


F.∆t = m.∆v = ∆Q


Para força externa não constante, uma função do tempo F(t) , temos:

dQ/dt = F

dQ = F.dt

∆Q = ∫F.dt ≡ I


Ou seja, a integral nada mais é do que um somatório do produto de infinitesimais "F.dt", por isso o uso do símbolo"∫", significando um "S" de "Soma", o que representa, graficamente, a área sob uma curva da função F(t) entre dois determinados instantes:





Resumindo, chamamos a "Variação da Quantidade de Movimento" de Impulso:

∆Q ≡ I

E, alterativamente, o calculamos por:

I = ∫F.dt


Saudações momentâneas mas constantes !

Pessoal, mil perdões pela minha distração com relação ao post. Hoje, 12/07, foi o dia em que olhei novamente o tópico de Escolas Militares: Física. Eu andei tentando resolver esta questão por um bom tempo e consegui chegar a um resultado próximo, mas não exato como foi dado.
A questão foi retirada de uma apostila do curso preparatório Elite pré-vestibulares de Campinas. Só foi especificado que era uma questão da EN, e que pelo visto, como já foi falado, deve ser de uma época de provas discursivas, já que não havia alternativas.

Respondendo ao amigo christian, que formulou a hipótese de que eu quis "zuar" o pessoal, digo que jamais faria isso, e que meu interesse em relação ao fórum é esclarecer minhas dúvidas e quando possível, esclarecer a dos outros membros. Quanto à erros de digitação, reli a questão, e ela está como foi postada, portanto se existe algum erro, foi de quem a digitou na apostila.

Bom, companheiros de fórum, de qualquer forma, muito obrigado pela ajuda e estarei à disposição para quaisquer outras dúvidas em relação à questão.

Curti essa última explanação do nosso colega rihan.

"A ilusão de que os discentes do EM são incapazes de compreender a simplicidade e a necessidade das derivadas e integrais como ferramentas úteis e necessárias perdura há quase 5 séculos !!!! Uma enorme estupidez !!!!"

Concordo muito com isso!!!!!

Só um detalhe:
"Q' : Notação de Euler"

Aprendi como sendo a notação de Lagrange.

hygorvv escreveu:Curti essa última explanação do nosso colega rihan.

"A ilusão de que os discentes do EM são incapazes de compreender a simplicidade e a necessidade das derivadas e integrais como ferramentas úteis e necessárias perdura há quase 5 séculos !!!! Uma enorme estupidez !!!!"

Concordo muito com isso!!!!!

Só um detalhe:
"Q' : Notação de Euler"

Aprendi como sendo a notação de Lagrange.

E você está correto !

A de Euler é :   ou  

Vou corrigir. Valeu !


Saudações corretivas.

Edimar Timol escreveu:Pessoal, mil perdões pela minha distração com relação ao post. Hoje, 12/07, foi o dia em que olhei novamente o tópico de Escolas Militares: Física. Eu andei tentando resolver esta questão por um bom tempo e consegui chegar a um resultado próximo, mas não exato como foi dado.
A questão foi retirada de uma apostila do curso preparatório Elite pré-vestibulares de Campinas. Só foi especificado que era uma questão da EN, e que pelo visto, como já foi falado, deve ser de uma época de provas discursivas, já que não havia alternativas.

Respondendo ao amigo christian, que formulou a hipótese de que eu quis "zuar" o pessoal, digo que jamais faria isso, e que meu interesse em relação ao fórum é esclarecer minhas dúvidas e quando possível, esclarecer a dos outros membros. Quanto à erros de digitação, reli a questão, e ela está como foi postada, portanto se existe algum erro, foi de quem a digitou na apostila.

Bom, companheiros de fórum, de qualquer forma, muito obrigado pela ajuda e estarei à disposição para quaisquer outras dúvidas em relação à questão.

Valeu pelas respostas Edimar.

Esta questão, como já havia dito, é muito interessante.

Foi muito bom você compartilhá-la conosco.


Saudações Esperançosas !

Caro rhian,

como você me pede para comentar o seu longo arrazoado:

vejo que você discorreu sobre um monte de coisas, citou História da Ciência, falou em derivadas e integrais, definiu quantidade de movimento, relacionou as leis de Newton, etc.

Minha opinião sobre a questão já a dei. A saída da bomba do balão não lhe faz alterar a velocidade assim como dois patinadores que deslizam solidários não têm suas velocidades alteradas apenas por se separarem.

A bomba podia ter 2kg ou 200kg e o balão uma massa qualquer. Sem conhecer essa relação de massas eu não sei como encontrar uma aceleração devida à redução do peso.

Minha opinião é de que nesse caso devemos considerar que o balão, após a saída da bomba, prossegue na mesma velocidade constante.

grande abraço,

m	0,19444
M	1,00000
m/M	0,19444
Vo	10
g	10
a	-10
A	1,9444

Maiscúlas Para Balão, minúsculas para bomba. (m, b, v, a; M, B; V; A)

Conservação do Momentum — Sistema Terra–Balão–Bomba (e, idealmente, Ar...)

t	v(t)	V(t)	Q
0	10,0000	10,0000	11,9444
1	0,0000	11,9444	11,9444
2	-10,0000	13,8888	11,9444
3	-20,0000	15,8332	11,9444
4	-30,0000	17,7776	11,9444
5	-40,0000	19,7220	11,9444
6	-50,0000	21,6664	11,9444
7	-60,0000	23,6108	11,9444
8	-70,0000	25,5552	11,9444
9	-80,0000	27,4996	11,9444
10	-90,0000	29,4440	11,9444

Conservação da Energia, Energia Mecânica — Sistema Bomba

t	b – h	B – h	(Ep – Epo)(b)	m(v² – Vo²)/2	WP	E(b)
0	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00
1	5,00	10,97	9,72	-9,72	-9,72	0,00
2	0,00	23,89	0,00	0,00	0,00	0,00
3	-15,00	38,75	-29,17	29,17	29,17	0,00
4	-40,00	55,56	-77,78	77,78	77,78	0,00
5	-75,00	74,31	-145,83	145,83	145,83	0,00
6	-120,00	95,00	-233,33	233,33	233,33	0,00
7	-175,00	117,64	-340,27	340,27	340,27	0,00
8	-240,00	142,22	-466,66	466,66	466,66	0,00
9	-315,00	168,75	-612,49	612,49	612,49	0,00
10	-400,00	197,22	-777,76	777,76	777,76	0,00

Conservação Energia Total — Sistema Balão–Terra–Ar(Idealmente)

t	(Ep – Epo)(B)	M(V² – Vo²)/2	WE	WP	WR = WE + WP	E(B) – Eo(B) = WE
0	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0
1	109,70	21,33	131,03	-109,70	21,33	131,03
2	238,90	46,45	285,35	-238,90	46,45	285,35
3	387,50	75,35	462,85	-387,50	75,35	462,85
4	555,60	108,02	663,63	-555,60	108,03	663,62
5	743,10	144,48	887,59	-743,10	144,49	887,58
6	950,00	184,72	1134,72	-950,00	184,72	1134,72
7	1176,40	228,73	1405,14	-1176,40	228,74	1405,13
8	1422,20	276,53	1698,73	-1422,20	276,53	1698,73
9	1687,50	328,11	2015,62	-1687,50	328,12	2015,61
10	1972,20	383,47	2355,67	-1972,20	383,47	2355,67
11	2276,40	442,62	2719,02	-2276,40	442,62	2719,02
12	2600,00	505,54	3105,54	-2600,00	505,54	3105,54

Salve São Tomé !