Problema EN

Relembrando a primeira mensagem :

Um balão sobe verticalmente com uma velocidade constante igual a 600 m/min. Em um dado momento cai do balão uma bomba, a qual, atingindo o solo, explode. A explosão é ouvida, 12s após a partida da bomba, por um observador que se encontra no balão. Pede-se a altura deste, no instante em que foi abandonada a bomba. Supor que a velocidade do som é de 330 m/s e que a aceleração da gravidade no local vale 10m/s². Supor também desprezível a resistência do ar.

Enrosquei neste problema há algum tempo, e continuo sem achar a solução certa. Se alguém puder ajudar, agradeço desde já.

A resposta é 400m

Transcorridos quase 3 meses, infelizmente, ninguém revisou seus conceitos sobre a Natureza e, conseqüentemente, esse tópico continua sem solução.

Como creio que é um tempo suficiente, cabe-me, então, resolver essa questão.

Para deixar bem claro meus argumentos já declarados em posts anteriores, resolverei sem usar qualquer uma das "Leis de Newton".

O único princípio Universal que usarei será a conservação do momento linear (momentum, quantidade de movimento).

Vamos lá.

As condições do problema nos mostram fatos físicos que devemos observar e, então, induzir certas premissas:

1) O movimento dos corpos é dito retilíneo.

Então, podemos trabalhar escalarmente somente com o eixo Y.

2) As dimensões dos corpos não são fornecidas, nem comprimento, nem massa.

Então, podemos e devemos trabalhar com os Centros de Massa (CM).

3) A velocidade inicial e constante do balão é dada em metros por minuto, i.e., 600 m/min ou 10 m/s.

Então, fisicamente, só podemos e devemos trabalhar com quantidades "inteiras" de metro.

4) O tempo entre o lançamento e a percepção do som, medido pelo observador no balão, é de 12 s.

Então, fisicamente, só podemos e devemos trabalhar com quantidades "inteiras" de segundo.

5) A resistência do ar é numericamente desprezível.

Então, ela existe, mas, pode ser deprezada nos cálculos, principalmente pela "natureza inteira" das grandezas L e T.

6) A velocidade do som é considerada como 330 m/s e a aceleração da gravidade 10 m/s².

Então, mais valores "inteiros", que reforçam a natureza inteira das dimensões. Indica também certa altitude, pois, em condições "normais", seria 340 m/s.

7) Não é dito o tipo do balão, nem quanto à natureza do gás, nem quanto à estrutura (elástica ou não).

Então devemos considerar variações de altitude não muito grandes, para considerarmos quase constantes as densidades do ar e do gás, bem como a pressão atmosférica.

Definindo para um ponto material, mais uma vez, o vetor Momentum:

Q = m.v

Sendo Q uma grandeza vetorial e a massa m escalar e sempre positiva (ou desprezível, ~ 0), o momentum de um corpúsculo será nulo ou paralelo à velocidade vetorial.

Vamos ao ÚNICO PRINCÍPIO necessário para todas as "Dinâmicas" de translação, a Conservação do Momentum:

Quando pontos materiais contituintes de um sistema isolado estão somente sob as suas interações, o momentum do sistema (total, somatório, resultante...) é constante (no espaçotempo).

No EM conhecemos somente duas interações: a gravitacional e a elétrica.

Vamos delinear e nos ater ao sistema Balão-bomba-Ar-Terra:



Onde temos uma Terra aristotélica ideal, estática, centro do Universo, esfera perfeita, densidade constante.

Pela geometria o CM da Terra vai coincidir com o seu centro geométrico e com o CM do Ar.

Esses CMs estão superpostos e mostrados exageradamente na figura anterior .

Balão mais bomba, também mostrados não em escala, constituem, antes do lançamento, um ponto material, seu CM.

Após a bomba ser solta, Balão e bomba tranformam-se em dois pontos materiais.

As únicas interações existentes e não desprezíveis nesse sistema modelado são:

(i) A gravitacional, sempre atartiva, entre a Terra e o Ar e entre a Terra e o Balão-bomba

(ii) A elétrica (contato), sempre repulsiva entre os elétrons do Ar e do Balão-bomba.

A interação gravitacional entre balão, bomba e ar são desprezíveis, já que a massa da Terra é muito maior que as outras massas.

Como estamos trabalhando com CMs, não nos interessa as forças internas aos corpos, aqui considerados como "pontos materiais" em função dos dados do problema.

Sejam os momentos lineares para Terra, Ar , Balão-bomba, o momentum do sistema será:

T + A + B + b = Q

Pela Conservação do Momentum:

Q = constante vetorial (no espaçotempo)

Colocando a origem de nosso referencial Y nos CMs da Terra e do Ar, já que em relação a esse referencial as velocidades da Terra e do Ar são nulas, teremos:


T = 0

A = 0

B = M.V

b = m.v


Então:


Q = M.V + m.v


A Terra atrai o Balão-bomba, o que chamamos de "peso". O Balão e a bomba atraem a terra.

A Terra atrai o Ar, o que chamamos de pressão atmosférica. O Ar atrai a Terra.

O Ar repele Balão-bomba e é repelido por eles. O que chamamos de "empuxo".

Como as massas do Balão-bomba são muitíssimo menores que as massas Terra-Ar, consideramos que não há mudança de velocidades nem de posição dos CMs da Terra e do Ar, independente das velocidades atingidas por Balão e bomba.

Antes que a bomba se despreenda do balão, teremos:

Q = (M+m)vo

"No instante" em que se despreende, teremos:

Q = M.vo + m.vo

Após este "instante":

Q = M.V + m.v

Logo:

M.vo + m.vo = M.V + m.v

M.V - M.vo = m.vo - m.v

M(V - vo) = m(vo - v)

M(V - vo) = - m(v - vo)

M.∆V = - m.∆v

Em relação a um tempo ∆t, sendo as massas invariáveis,teremos:

M.∆V/∆t = - m.∆v/∆t

Que poderia ser chamado de taxa média de variação do momentum, que conhecemos por "força média".

Onde podemos definir:

∆v/∆t ≡ a := Aceleração Média (Vetorial).

Se tendermos ∆t para zero, ou seja, para o "instante", teremos, na notação de Leibiniz:

M.dV/dt = - m.dv/dt

Onde podemos definir:

dv/dt ≡ a := Aceleração Instantânea (Vetorial).

Ficando mais simples:

M.a = - m.ab

Onde:

a := aceleração do Balão

ab := aceleração da bomba

Chamamos ao produto "M.a" de "força" (instantânea)

Como a aceleração da bomba é g , sendo g = -10 m/s² :

M.a = - m.g

a = - (m/M).g

Chamando a razão (m/M) de r, teremos escalarmente:

a = 10r

Vamos definir outras "coisas", para simplificar :


∆y / ∆t ≡ v := vetor velocidade média.

dy / dt ≡ v := vetor velocidade (instantânea).


Podemos facilmente deduzir as funções horárias dos movimentos do Balão e bomba. Mas, não o farei aqui...

Para variações não muito grandes de y teremos a e g constantes (e, só assim poderemos resolver o problema !!!) e desprezando-se a resistência do ar, referencial mudado, tendo origem na superfície da Terra.

Escalarmente (SI):

q := tempo de queda da bomba

p := tempo que o som alcança o observador 12 - q

Balão:

B(t) = h + 10t + 5t².r

V(t) = 10 + 10t.r

a = 10r

bomba:

b(t) = h + 10t - 5t² --> h = 5t² - 10t

v(t) = 10 - 10t

a = -10

som:

s(t) = 330p = 330(t-q)


Equacionando-se:


B(12) = s(12)

h + 10.12 + 5r.12² = 330(12-q) e h = 5t² - 10t

5.12² - 10.12+ 10.12 + 5r.12² = 330.12 -330q

5.12²(r + 1) = 330.12 -330q

O problema é matematicamente indeterminado !

Mas não o é fisicamente !

Agora é o separador de orelhas que tem que funcionar...

Vamos pensar na razão r = m/M

Se m fosse nulo ou desprezível ( O QUE NÃO É !!!) o balão continuaria em MRU, sendo o resultado achado para a altura aproximadamente 430 m. ( O CM do sub-sistema Balão-bola continua em MRU !)

É razoável pensarmos que m seja menor do que M por vários motivos...

Se não for razoável para você, imagine que se m fosse maior do que M o balão iria acelerar muito !!!

Rapidinho, a depender do tipo de balão, iria para a estratosfera ou explodiria (que nem balões (bexigas) de gás explodem quando sobem muito, por ser a pressão interna maior do que a externa e o balão elástico ) !!!

Também é razoável pensarmos que a altura será algo menor do que 430 m, já que a bomba tem massa não desprezível e o balão vai se acelerar para cima, se distanciando da altura que tinha no momento do despreendimento da bomba...

Vamos ver nossa função h, que, por ser a resistência do ar desprezível, é dada pela equação horária da bomba.

Sendo:


b(t) = h + vo.t - 5t²

b(q) = 0

vo = 10

0 = h + 10q - 5q²

h = 5q² - 10q


Sabemos que:

2 < q < 11

Pois, como foi dito, a altura vai ser menor do que 430 e de 0s a 1s a bomba sobe, voltando a altura h no instante 2s

Se q for 11s teremos um paradoxo: a altura será de 495 e a do balão 330, indicando que o balão caiu em vez de subir!

q	h	p	s	B	m	a
3	15	9	2970	2970	3,9375	39,38
4	40	8	2640	2640	3,4444	34,44
5	75	7	2310	2310	2,9375	29,38
6	120	6	1980	1980	2,4167	24,17
7	175	5	1650	1650	1,8819	18,82
8	240	4	1320	1320	1,3333	13,33
9	315	3	990	990	0,7708	7,71
10	400	2	660	660	0,1944	1,94
11	495	1	330	330	-0,3958	-3,96

O próximo chute é q = 10...

Fim.

O resto deixo pra vocês pensarem e refletirem...

Tchau !