Combinatória

Quantos números diferentes podem ser formados multiplicando alguns (ou todos )dos números 1,5,6,7,7,9,9,9?
R. : 48

Alguns ou todos ?????

Não "traduza" questões, nem as simplifique, pequenos detalhes que você não percebe podem ser decisivos para a resolução...

É assim que está na tarefa. ?

Ok.

1,5,6,7,7,9,9,9

1.2.2.3.4 = 48
_ _ _ _ _
1 5 6 7 9

O 5 pode estar elevado a 0, valendo 1,não entrando na multiplicação, e elevado a 1: 2 maneiras

Idem para o 6: 2 maneiras

O 7 pode ser a 0, a 1 e a 2: 3 maneiras.

O 9, 4 maneiras (0,1,2,3 ).

O 1 só de uma, pois 1 elevado a 0 ou a 1 ou a 2 ...= 1

Sendo bem purista, desconsiderando que qualquer "n" é igual ao próprio "n" vezes 1 e, considerando ainda que o número 1 é um elemento do referido conjunto, deveríamos subtrair os subconjuntos:
(0,0,0,0,0), (1,0,0,0,0), (0,1,0,0,0), (0,0,1,0,0), (0,0,0,1,0), (0,0,0,0,1), pois, caso contrário, não haveria, s.m.j, uma "multiplicação de alguns (ou todos)"
o que resultaria 48 - 6 = 42

Salvo melhor juízo, acredito que você é um advogado...

Mas, assim como Fermat, gosta dos números.

Seu raciocínio está quase certo !

Explico:

Para existir uma multiplicação, pela definição, é necessário e suficiente haver ao menos um par de operandos, ou seja, dois ou mais números.

Elevar a potência zero foi uma forma de dizer "não pego este número".

Mas, realmente eu me passei !

Não atinei para o caso:

1° . 5° . 6°. 7°. 9° = 1

Apesar de ser um resultado numérico, não se encaixa de fato na questão, pois significa que nenhum elemento foi pego, o que contraria a definição de multiplicação !

Portanto, a resposta correta: 47 números distintos.

Os outros casos estão corretos.

Já que você gosta de pensar, deixo pra você o prazer de descobrir. 

Segue uma lista:

1    1
2    5
3    6
4    7
5    9
6    30
7    35
8    42
9    45
10    49
11    54
12    63
13    81
14    210
15    245
16    270
17    294
18    315
19    378
20    405
21    441
22    486
23    567
24    729
25    1470
26    1890
27    2205
28    2430
29    2646
30    2835
31    3402
32    3645
33    3969
34    4374
35    5103
36    13230
37    17010
38    19845
39    21870
40    23814
41    25515
42    30618
43    35721
44    119070
45    153090
46    178605
47    214326
48    1071630

Estou fazendo os exercícios do Morgado e tive contado com esse exercício que me gerou uma certa dúvida em parte esclarecida por este tópico.

Mas foi dito aí que a resposta era 48, mas notei, ao olhar um exercício anterior, que este exercício parece ser bem parecido com um anterior. 

Para esse também podemos mutliplicar todos os números como o exercício propõe.
 1\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 7\cdot 9\cdot 9\cdot 9

E assim temos


1^{0}\cdot 5^{1}\cdot 6^{1}\cdot 7^{2}\cdot 9^{3}

Aí olhando os expoentes temos: 

1^{\alpha }\cdot 5^{\beta }\cdot 6^{\gamma }\cdot 7^{\delta }\cdot 9^{\epsilon }

Assim, temos
 \alpha =\left \{ 0 \right \}
\beta =\left \{ 0,1 \right \}
\gamma =\left \{ 0,1 \right \}
\delta =\left \{ 0,1,2 \right \}
\epsilon =\left \{ 0,1,2,3 \right \}


Onde: 
\alpha = 1 possibilidades
 \beta=2 possibilidades
\gamma=2 possibilidades
\delta=3 possibilidades
\epsilon=4 possibilidades


Portanto, temos: 1x2x2x3x4=48 (resposta correta)

Esse resultado cuja resposta é 47 está correto mesmo?