função trigonométrica
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função trigonométrica
por Leandro! Qua 04 Abr 2012, 12:43
Sobre a função f definida por f(x) = -1 + |6(sen x)(cos x)|, é incorreto afirmar que:
a) Im(f)=[-1, 2]
b) é decrescente para todo x ∈ [∏/4, 3∏/4]
c) possui 8 raízes no intervalo [0, 2∏]
d) tem período igual ao período da função real g dada por g(x)=2f(x)
por favor, demonstrar porque cada alternativa é falsa ou verdadeira
a) Im(f)=[-1, 2]
b) é decrescente para todo x ∈ [∏/4, 3∏/4]
c) possui 8 raízes no intervalo [0, 2∏]
d) tem período igual ao período da função real g dada por g(x)=2f(x)
por favor, demonstrar porque cada alternativa é falsa ou verdadeira
- Spoiler:
- gabarito: alternativa b
Leandro!- Mestre Jedi
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Re: função trigonométrica
por rihan Qua 04 Abr 2012, 14:15
f(x) = -1 + |6(sen x)(cos x)|
Várias maneiras...
f(x) = -1 + |3.2(sen x)(cos x)|
f(x) = -1 + |3sen(2x)|
-1 ≤ sen(2x) ≤ 1
-3 ≤ 3sen(2x) ≤ 3
0 ≤ |3sen(2x)| ≤ 3
-1 ≤ |3sen(2x)|-1 ≤ 2
Vamos as itens:
a) Im(f) = [-1; 2] --> V
b) Quando x ∈ [∏/4, 3∏/4] --> 2x ∈ [∏/2, 3∏/2]
Pela tabela ou pelo esboço da função vemos que f(x) decresce de [∏/2, ∏] e cresce de [∏, 3∏/2] --> FALSA
x): 2 --> -1 --> V
c) Raizes:
|3sen(2x)| = 1
3sen(2x) = ± 1
sen(2x) = ± 1/3
De [0; ∏] : 4 raízes
De (∏; 2∏]: 4 raízes
Total: 7 raízes ---> V
d) O período é o mesmo, só muda o valor de g(x) , que passa a ser o dobro de f(x) --> V
RESPOSTA: INCORRETA (b)
Várias maneiras...
f(x) = -1 + |3.2(sen x)(cos x)|
f(x) = -1 + |3sen(2x)|
-1 ≤ sen(2x) ≤ 1
-3 ≤ 3sen(2x) ≤ 3
0 ≤ |3sen(2x)| ≤ 3
-1 ≤ |3sen(2x)|-1 ≤ 2
Vamos as itens:
a) Im(f) = [-1; 2] --> V
b) Quando x ∈ [∏/4, 3∏/4] --> 2x ∈ [∏/2, 3∏/2]
| x | ∏/4 | 2∏/4 | 3∏/4 |
| 2x | ∏/2 | ∏ | 3∏/2 |
| sen(2x) | 1 | 0 | -1 |
| |3sen(2x)| | 1 | 0 | 1 |
| |3sen(2x)| -1 | 0 | -1 | 0 |
Pela tabela ou pelo esboço da função vemos que f(x) decresce de [∏/2, ∏] e cresce de [∏, 3∏/2] --> FALSA
x): 2 --> -1 --> V
c) Raizes:
|3sen(2x)| = 1
3sen(2x) = ± 1
sen(2x) = ± 1/3
De [0; ∏] : 4 raízes
De (∏; 2∏]: 4 raízes
Total: 7 raízes ---> V
d) O período é o mesmo, só muda o valor de g(x) , que passa a ser o dobro de f(x) --> V
RESPOSTA: INCORRETA (b)
rihan- Estrela Dourada
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Re: função trigonométrica
por Bruna Barreto Qua 04 Abr 2012, 14:27
Rihan desculpe,como vc achou o -1 e 2 nessa parte:
-1 ≤ |3sen(2x)|-1 ≤ 2 :scratch:
-1 ≤ |3sen(2x)|-1 ≤ 2 :scratch:
Bruna Barreto- Fera
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Re: função trigonométrica
por Leandro! Qua 04 Abr 2012, 15:12
rihan,
só tem como perceber se é decrescente montando a tabela ou vendo o gráfico? Fiz desta mesma maneira, porém queria saber se há outra forma de fazer que você conheça.
Enquanto as raízes nesse caso, só mesmo montando o gráfico pra descobrir quantas são?
só tem como perceber se é decrescente montando a tabela ou vendo o gráfico? Fiz desta mesma maneira, porém queria saber se há outra forma de fazer que você conheça.
Enquanto as raízes nesse caso, só mesmo montando o gráfico pra descobrir quantas são?
Leandro!- Mestre Jedi
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Re: função trigonométrica
por Leandro! Qua 04 Abr 2012, 15:29
Bruna Barreto escreveu:Rihan desculpe,como vc achou o -1 e 2 nessa parte:
-1 ≤ |3sen(2x)|-1 ≤ 2 :scratch:
Montando gráfico, você percebe que maior valor é 2 e o menor é -1.
outro modo é perceber que valor máximo do seno é 1, substituindo sen 2x por 1, obtém-se 2.
O menor valor do seno é -1, mas perceba que o sen 2x está em módulo, logo será igual a 1, então nesse casos com módulo, considera-se o menor seno igual a 0, substituindo esse valor em sen 2x, tem-se -1.
Espero que tenha conseguido lhe ajudar^^
Leandro!- Mestre Jedi
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Re: função trigonométrica
por rihan Qua 04 Abr 2012, 15:36
Bruna Barreto escreveu:Rihan desculpe,como vc achou o -1 e 2 nessa parte:
-1 ≤ |3sen(2x)|-1 ≤ 2 :scratch:
-1 ≤ sen(2x) ≤ 1 <--- Imagem da função seno
-3 ≤ 3sen(2x) ≤ 3 <---- Multipliquei tudium por 3
0 ≤ |3sen(2x)| ≤ 3 <---- "Modulei"
-1 ≤ |3sen(2x)|-1 ≤ 2 <----- Subtraí 1 de todo mundo :face:
Última edição por rihan em Qua 04 Abr 2012, 16:14, editado 1 vez(es)
rihan- Estrela Dourada
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Re: função trigonométrica
por Leandro! Qua 04 Abr 2012, 15:40
rihan, nessas questões de trigonometria no estilo acima, só montando tabelas e gráficos para resolver a questão?
Leandro!- Mestre Jedi
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Re: função trigonométrica
por rihan Qua 04 Abr 2012, 15:52
<--- Não , pode se usar o separador de orelhas:Leandro! escreveu:rihan,
só tem como perceber se é decrescente montando a tabela ou vendo o gráfico? Fiz desta mesma maneira, porém queria saber se há outra forma de fazer que você conheça. <--- De cabeça, se a prova não for descritiva.
Enquanto as raízes nesse caso, só mesmo montando o gráfico pra descobrir quantas são?
|sen(30°)| = |1/2| = 1/2
|sen(150°)| = |1/2| = 1/2
|sen(210°)| = |-1/2| = 1/2
|sen(330°)| = |-1/2| = 1/2
Para | sen(x) | = v : temos 4 raízes, pra x variando de 0 a 360º
Para |sen(2x)| = v : temos 8 raízes, pra x variando de 0 a 360º
rihan- Estrela Dourada
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Re: função trigonométrica
por rihan Qua 04 Abr 2012, 15:55
Leandro! escreveu:rihan, nessas questões de trigonometria no estilo acima, só montando tabelas e gráficos para resolver a questão?
Um "ou exclusivo" o outro.
Um gráfico é somente a mesma informação da tabela, mas visual, mais sintética, mas geral.
Quando sei traçar rapidinho, eu prefiro o gráfico, na maioria das vezes.
rihan- Estrela Dourada
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Leandro!- Mestre Jedi
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