Dúvida sobre Transformações Lineares.

Alguém poderia me explicar o que é transformações lineares? E o que elas tem a ver com matrizes?
Tenho um professor que ele me disse que transformações lineares poderiam me ajuda na resolução de exercícios de matrizes na prova do ITA.

Alguém saberia de explicar?

Para uma dimensão somente, uma trasformação linear é:

z = a.x + b

Ou seja, em vez de trabalharmos com "x", trabalharemos com "z", que nada mais é do que uma função linear de "x".

Fazemos isso para simplificar, facilitar os entretantos e alcançarmos mais rapidamente e com menos chances de erros os resultados.

Conhecendo-se o resultado, o nosso "z", podemos chegar ao nosso "x", já que a função linear é biunívoca, permitindo a função inversa sem problemas:

x = (z-b)/a

Um exemplo simples pode ser achar a média aritmética de um conjunto:

Seja A = { 100, 200, 300, 600, 700 }

Escolhemos um "a" "mediano", tipo 400, como referência. Pode ser qualquer um. Basta pensar...

Reduzimos a variável "a" por um fator de 100, para trabalharmos com números menores.

Temos, então, nossa transformação:

z = (a-400)/100

Nosso conjunto "transformado" Z é:

Z = {-3; -2; -1; 2; 3 }

Calculamos média(Z):

média(Z) = Z = (-3 - 2 -1 + 2+ 3)/5 = -1/5

Achamos a média A:

a = 100z + 400

A = 100Z + 400

A = 100(-1/5) + 400

A = 380

Quando trabalhamos com dimensões maiores, isto é, coleções de variáveis, os ditos "espaços vetoriais" (ou "matriciais", ou "tensoriais") temos a mesma coisa, só que vale para a coleção toda.

Se A é uma coleção, podemos escrever:

T = a.A + B

Onde T, A e B são coleções (vetores, matrizes...) e "a" um escalar (real) qualquer.

Do mesmo modo que fazemos isso para facilitar nossas calculeiras em uma dimensão, o fazemos também para "n" dimensões.

Quando multiplicamos uma matriz toda por um escalar, ou uma coluna ou linha somente, estamos fazendo uma transformação linear.

Quando somamos outra matriz, ou quando somamos linhas ou colunas de uma mesma matriz, também.

E assim o fazemos para facilitar nossos cálculos.

E Vamos Lá !

Ah certo, muito obigado rihan.

!