Calcule AF

por Werill Sáb 24 Dez 2011, 02:26

Observe a figura abaixo:

Sabendo que ABCD é um quadrado de lado 6 e ECD é um triângulo equilátero. Calcule a medida de AF.

[Sem gabarito]

Muito obrigado!

por Werill Sáb 24 Dez 2011, 02:59

Acho que consegui.

Obtive como resposta:
√6 + 3√2
_______________________

Minha resolução:

Segmento AF = x

O ângulo C do triângulo EBC mede (90º + 60º = 150º), logo os ângulo B e E deste mesmo triângulo medem 15º.

Portando, o ângulo B do triângulo ABF mede (90 - 15 = 75º). Sabemos que o ângulo A deste triângulo mede 45º, sendo assim, o ângulo F do triângulo ABF medirá 60º.

Lei dos Senos no triângulo ABF:

6/sen60º = x/sen75º

sen75º = sen(30 + 45)º = (1/2)(√2/2) + (√3/2)(√2/2)
sen75º = (√2 + √6)/4

6/(√3/2) = x/[(√2 + √6)/4]

12/(√3) = 4x/(√2 + √6)

x = 12(√2 + √6)/(4√3)

x = 3(√2 + √6)/(√3)

x = √3(√2 + √6)

x = √6 + √18

x = 3√2 + √6

Se estiver errado, ou tiverem outra resolução eu gostaria de ver saber.

Muito Obrigado!! E desculpe por pedir ajuda e depois resolver, fazia mais de uma hora que estava tentado fazer, apesar da questão não ser difícil, minha cabeça falhou '-'

por faraday Sáb 24 Dez 2011, 10:42

Werill , toda as saídas que eu vi só pensei em leis dos senos hahahaha

acho que a sua foi a mais rápida

por gabriel93 Sáb 24 Dez 2011, 10:42

https://2img.net/r/ihimg/photo/my-images/716/semttulo25g.png/

Lei dos cossenos no triângulo ADE:

$a^2 = 72 + 72\frac{\sqrt{3}}{2} = 36(\sqrt{3} + 2)$

Lei dos cossenos em APE (P é a intersecção AC e BE):

$36(\sqrt{3} + 2) = 2x^2 + + 2x^2 \frac{1}{2} = 2x^2 + x^2 = 3x^2$

$x = \sqrt{12(\sqrt{3} + 2)} = \sqrt{6} + 3\sqrt{2}$

por faraday Sáb 24 Dez 2011, 10:59

rá sou um jumento mesmo Wink

Muito boa sua resolução

por faraday Sáb 24 Dez 2011, 11:42

outra maneira , hahaha tentei usar latex , mas não consegui passar de linha -'

https://2img.net/r/ihimg/photo/my-images/408/calculeaf.jpg/

(V2 + V6)/4 = AM/6

AM=3(V2+V6)/2

V3/2 = 3(V2+V6)/2/AF

AF=3(V2+V6)/V3

AF=3V3(V2+V6)/3

AF=V3(V2 +V6)

AF=V6 + V18

M é o encontro da altura do triângulo ABF com o lado BF do triângulo BFC

por gabriel93 Sáb 24 Dez 2011, 12:01

Esse exercício eu tinha me lembrado de ter visto em algum lugar. Agora que eu vi que é do Iezzi 9, de geometria plana. Tem uma solução também muito boa no final do livro:

https://2img.net/r/ihimg/photo/my-images/819/semttulo5464654.png/

$GE = \frac{6\sqrt{3}}{2} + 6 = 6 + 3\sqrt{3}$

$TAN(a) = \frac{3}{6 + 3\sqrt{3}} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{6-a}{a}$

$a = (6 - a)(2 + \sqrt{3}) = 12 + 6\sqrt{3} - 2a - a\sqrt{3}$

$a = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{(12 + 6\sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}{6} = \frac{36 - 12\sqrt{3} + 18\sqrt{3} - 18}{6}$

$a = 3 + \sqrt{3}$

$AF = a\sqrt{2} = 3\sqrt{2} + \sqrt{6}$