|Função Piso| - Conjunto Solução

por Arlindocampos07 Sáb 08 Jul 2023, 11:07

Determine o conjunto solução da equação [latex]x=\lfloor 1-x\rfloor[/latex] , onde [latex]\lfloor a\rfloor[/latex] representa a parte inteira de [latex]a[/latex].

GABARITO:

Não consegui um jeito de encontrar a solução algebricamente, só esboçando o gráfico...

por Lucas_DN684 Dom 09 Jul 2023, 02:42

@Arlindocampos07,

Temos que a função máximo inteiro é aquela que associa a cada elemento x, real, o elemento [x], que é o maior inteiro que não supera x:

[latex]f(x)=\left \{ \left ( x,y \right )\in \, \mathbb{R}\, \times \, \mathbb{Z}\mid y=[x] \right \}[/latex]

Mas mais precisamente, podemos inferir que x é maior ou igual a sua parte inteira e menor que sua sucessora:

[latex]f(x)=[x]\Leftrightarrow \left ( \forall x\in \mathbb{R} \right )\left ( \exists !y\in \mathbb{Z} \right )\left ( \exists !z\in \mathbb{Z} \right )\left ( y=[x],\, \, \, z\leq x< z+1 \right )[/latex]

Isto posto, notemos que a equação é do tipo:

[latex]x=\left ( f\circ g \right )\left ( x \right )[/latex]

onde f(x) é a função máximo inteiro e g(x) uma função real que, nesse caso em particular, é:

[latex]g(x)=\left \{ \left ( x,y \right ) \in \mathbb{R}^{2}\mid y=1-x\right \}[/latex]

Portanto, a condição necessária e suficiente para resolver a equação é que o elemento do domínio seja igual à imagem:

[latex]\left ( x=f(x)\right )\Leftrightarrow \left ( x=\left [ x \right ]=z\right )[/latex]

ou

[latex]\left ( x=\left ( f\circ g \right )\left ( x \right )\right )\Leftrightarrow \left ( x=\left [ g(x) \right ]=z\right )[/latex]

Então, finalmente:

[latex]\left ( x=\left [ 1-x \right ] \right )\Leftrightarrow \left ( x=\frac{1}{2} \right )\therefore S=\varnothing [/latex]

Como "meio" não é inteiro, então o conjunto solução é vazio.

por Arlindocampos07 Seg 10 Jul 2023, 10:28

Fala, Lucas!

Obrigado pela explicação acerca da função piso! No entanto, não estou com dúvidas na conceituação dela, mas, sim, em como chegar à conclusão de que o conjunto solução desta função (x = ⌊1-x⌋) é vazio. Em sua última definição:

$|Função Piso| - Conjunto Solução Png$

Creio que tenha se equivocado, pois, veja:

Se x = 1/2, temos:

x = ⌊1-x⌋

1/2 = ⌊1-1/2⌋

1/2 = ⌊1/2⌋

1/2 = 0 (o que é uma contradição)

É como eu falei inicialmente: estou buscando uma forma de provar o conjunto solução algebricamente, mas só consegui até agora por meio do gráfico.

por Lucas_DN684 Seg 10 Jul 2023, 16:29

Boa tarde, Arlindo!

É através da contradição que busquei provar que a hipótese de que existe um número inteiro, "x", tal que "x=[1-x]" implica numa contradição, isto é, "verdadeiro implica falso". Talvez não tenha ficado tão explícito, pois justamente "corri" no final referido, por acreditar que a construção da argumentação tornaria imediata a conclusão. Então peço que considere, por gentileza, uma demonstração mais formal da última conclusão.

Consideremos as seguintes proposições da argumentação prévia:

[latex]f(x)=[x]\Leftrightarrow \left ( \forall x\in \mathbb{R} \right )\left ( \exists !y\in \mathbb{Z} \right )\left ( \exists !z\in \mathbb{Z} \right )\left ( y=[x],\, \, \, z\leq x< z+1 \right )\, \, \, (I) [/latex]

[latex]\left ( x=\left ( f\circ g \right )\left ( x \right )\right )\Leftrightarrow \left ( x=\left [ g(x) \right ]=z\right )\, \, \, (II)[/latex]

Seja "S" o conjunto solução da equação "x=[1-x]", suponhamos que existe algum "x", inteiro, que resolva a equação. Nesse sentido, para provarmos que "S" é vazio, basta provar que não existe algum inteiro que a satisfaça.

Hipótese⇒Tese

[latex]S\neq \varnothing \Rightarrow (\exists x\in \mathbb{Z})(x=[1-x]) [/latex]

I e II implica:

[latex]\left ( x=\left [ 1-x \right ] \right )\Leftrightarrow \left ( x=1-x \right )[/latex]

Note que de todos os valores de "x" que I explicita a terem imagem "z", II reduz esse intervalo para o único elemento ao qual é igual à imagem. Nesse sentido, prosseguimos:

[latex]\left ( x=1-x \right )\Leftrightarrow \left ( x=\frac{1}{2} \right )[/latex]

Mas note que "x" não é inteiro, o que é absurdo considerando nossa hipótese (contradição). Nesse sentido, concluímos que "S" é vazio.

Resumo:

Claro que todo esse formalismo seria desnecessário na hora de resolver a questão numa situação mais "prática". Bastava notar que "x=[1-x]" se, e somente se, "x=1-x", e ao darmos de cara com "x=0,5" notaríamos a incongruência de que "x" não é inteiro, o que já mataria a questão. Pontuo também que o fato de "0,5≠[0,5]" decorre da contradição em que chegamos, dado que isto é uma consequência dela, isto é, se não existe algum "x" inteiro que satisfaça a equação propriamente dita, então sua invalidade independe do número arbitrado à incógnita assim como, por exemplo, "a.0=9" será falso para qualquer valor real de "a".

Espero que isso tenha esclarecido quaisquer dúvidas.