questão do ime sobre polinômios
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questão do ime sobre polinômios
por rebecaszz Sáb 11 Mar 2023, 12:56
(IME-71/72) A é um número real. Entre que limites deverá estar situado A para que (1 + i) seja raiz do polinômio P(x) = x3 + mx2 + Anx + A?
Obs: m e n são inteiros não negativos
a) 1 ≤ A ≤ 4
b) 1 ≤ A ≤ 2
c) 2 ≤ A ≤ 4
d) 0 ≤ A ≤ 4
e) 0 ≤ A ≤ 2
f) N.R.A.
gab: f
Obs: m e n são inteiros não negativos
a) 1 ≤ A ≤ 4
b) 1 ≤ A ≤ 2
c) 2 ≤ A ≤ 4
d) 0 ≤ A ≤ 4
e) 0 ≤ A ≤ 2
f) N.R.A.
gab: f
Última edição por rebecaszz em Sáb 11 Mar 2023, 13:37, editado 1 vez(es)
rebecaszz- Recebeu o sabre de luz
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Re: questão do ime sobre polinômios
por Giovana Martins Sáb 11 Mar 2023, 13:24
Seja z = 1 + i é raiz de P(x), logo, w = 1 - i também é raiz de P(x).
Sendo P(z) = 0: (1 + i)³ + m(1 + i)² + An(1 + i) + A = 0 → (An + A - 2) + (2 + 2m + An)i = 0 (I)
Sendo P(w) = 0: (1 - i)³ + m(1 - i)² + An(1 - i) + A = 0 → (An + A - 2) - (2 + 2m + An)i = 0 (II)
De (I) e (II): An + A - 2 = 0 → A = 2/(n + 1)
Sendo n = {0, 1, 2, ...}, A assume o seu maior valor quando n assumir o seu menor valor, isto é, n = 0, o que implica A = Amáx = 2.
Com isso eliminamos as alternativas A, C e D.
Tomando-se um valor de n suficientemente grande, ter-se-á um valor de A que tende a zero.
Penso que seja a letra E.
Por favor, confira as continhas. Fiz sem "rascunhar".
Giovana Martins- Grande Mestre
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