Potenciação e radiciação

por Luan, o Rocha Qui 02 maio 2024, 18:10

Elementos da Matemática, Vol. 0.

Capítulo 1. Potenciação e Radiciação.

46) Cálcule o valor de [latex]A= \sqrt{2\sqrt{4\sqrt{8\sqrt{16\sqrt{...}}}}}[/latex].

Gabarito: A=4.

Preciso de ajuda com esta questão.

por **Elcioschin** Qui 02 maio 2024, 18:26

É o mesmo que

2^1/2.4^1/4.8^1/8.16^1/16.32^1/32. ....

2^1/2.(2²)^1/4.(2³)^1/8.(2⁴)^1/16.(2⁵)^1/32. .... =

2^1/2.2^1/2.2^3/8.2^1/4.2^5/32. .... =

Note que temos a mesma base 2, logo basta repetir a base 2 e somar os expoentes

Procure obter uma soma como uma PG decrescente infinita de razão q, com
0 < q < 1

A soma desta PG seria dada por S = a1/(1 - q)

por Luan, o Rocha Sex 03 maio 2024, 13:57

Elcioschin escreveu:É o mesmo que

2^1/2.4^1/4.8^1/8.16^1/16.32^1/32. ....

2^1/2.(2²)^1/4.(2³)^1/8.(2⁴)^1/16.(2⁵)^1/32. .... =

2^1/2.2^1/2.2^3/8.2^1/4.2^5/32. .... =

Note que temos a mesma base 2, logo basta repetir a base 2 e somar os expoentes

Procure obter uma soma como uma PG decrescente infinita de razão q, com
0 < q < 1

A soma desta PG seria dada por S = a1/(1 - q)

Não consegui resolver do modo que o senhor sugeriu. Porém, após ver resoluções de outras questões semelhantes, cheguei nesse resultado:
[latex]A=\sqrt{2\sqrt{4\sqrt{8\sqrt{16\sqrt{32\sqrt{...}}}}}}=2^\frac{1}{2}.2^\frac{2}{4}.2^\frac{3}{8}.2^\frac{4}{16}.2^\frac{5}{32}.2^\frac{6}{64}.2^\frac{7}{128}.2^\frac{9}{512}...=2^\frac{1}{2}.2^\frac{1}{2}.2^\frac{3}{8}.2^\frac{1}{4}.2^\frac{5}{32}.2^\frac{3}{32}.2^\frac{7}{128}.2^\frac{8}{256}.2^\frac{9}{512}...=2^\frac{1}{2}.2^\frac{1}{2}.(2^\frac{1}{4}.2^\frac{1}{8}).2^\frac{1}{4}.(2^\frac{1}{8}.2^\frac{1}{32}).(2^\frac{1}{16}.2^\frac{1}{32}).(2^\frac{1}{32}.2^\frac{1}{64}.2^\frac{1}{128}).2^\frac{1}{32}.(2^\frac{1}{128}.2^\frac{1}{512})...=2.2^\frac{1}{2}.2^\frac{1}{4}.2^\frac{1}{8}.2^\frac{1}{16}.2^\frac{1}{16}.2^\frac{1}{16}.2^\frac{1}{64}.2^\frac{1}{64}.2^\frac{1}{512}...=2^\frac{1}{2}.2^\frac{1}{4}.2^\frac{1}{8}.2^\frac{1}{16}.2^\frac{1}{32}...=2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{...}}}}}[/latex]
Como [latex]A=2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{...}}}}}[/latex], temos que:
[latex]A=2\sqrt{A}\Rightarrow A^2=4A\Rightarrow A=4[/latex]

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