Argumentos e Módulos de Complexos.

Acho que o enunciado e o gabarito não estão batendo. O enunciado pede o complexo z de módulo máximo, porém, o gabarito fornece o complexo de módulo mínimo.

A sua resolução está num bom caminho. Pensar graficamente pode te ajudar. Deixo uma dica em spoiler (ver após pensar graficamente).

Spoiler:

Oiii.

Então, eu tinha pensado em algo mais geométrico do que algébrico para fugir do "algebrismo" do sistema formado pelas equações: novamente, se eu bem entendi o exercício, acho que o enunciado e gabarito discordam entre si.



[latex]\\\mathrm{|z-2+3i|=1\to (x-2)^2+(y+3)^2=1\to \left\{\begin{matrix} \mathrm{C(2,-3)}\\ \mathrm{R=1} \end{matrix}\right.}\\\\\mathrm{Do\ \bigtriangleup CDO: \underset{Teorema\ de\ Pit\acute{a}goras}{ \underbrace{\mathrm{(OA+AC)^2=(CD)^2+(OD)^2}}}}\\\\\mathrm{(|z|_{min}+1)^2=(3)^2+(2)^2\to \boxed {\mathrm{|z|_{min}=\sqrt{13}-1}}}\\\\\mathrm{\bigtriangleup OAE\sim \bigtriangleup CDO\ (Caso\ A.A.)\to \left\{\begin{matrix} \mathrm{\frac{OC}{OA}=\frac{OD}{OE}\to x=2-\frac{2}{\sqrt{13}}}\\ \\ \mathrm{\frac{OC}{OA}=\frac{CD}{AE}\to y=3-\frac{3}{\sqrt{13}}} \end{matrix}\right.}\\\\\mathrm{z=\left ( 2-\frac{2}{\sqrt{13}} \right )-\left ( 3-\frac{3}{\sqrt{13}} \right )i\to \boxed {\mathrm{Arg(z)_{min} =arctan\left ( -\frac{3}{2} \right )}}}[/latex]

Quanto ao argumento mínimo, não entendo como chegar no valor fornecido pelo gabarito. Me pareceu fazer sentido calculá-lo de forma tradicional. Se algum membro mais sagaz tiver melhores ideias, manda ver.

Disponha, Bergamotinha.

Uma ideia do jeito que você estava querendo fazer:

[latex]\\\mathrm{|z-2+3i|=1\to (x-2)^2+(y+3)^2=1}\\\\\mathrm{Seja\ r:y=-\frac{3}{2}x\ a\ reta\ que\ passa\ por\ O(0,0)\ e\ C(2,-3), logo:}\\\\\mathrm{(x-2)^2+\left ( -\frac{3}{2}x+3 \right )^2=1\to x=2\pm \frac{2}{\sqrt{13}}\to y=-3\pm \frac{3}{\sqrt{13}}\to A\left ( 2-\frac{2}{\sqrt{13}},-3+\frac{3}{\sqrt{13}} \right )}\\\\\mathrm{|z|_{min}=d_{A,O}=\sqrt{\left ( 2-\frac{2}{\sqrt{13}}-0 \right )^2+\left ( -3+\frac{3}{\sqrt{13}}-0 \right )^2}\to |z|_{min}=\sqrt{14-2\sqrt{13}}=\sqrt{13}-1}[/latex]

Nota: o ponto A encontrado é o afixo do complexo de módulo mínimo.

Excelente! Para mim faz sentido. Muito obrigada!

Um jeito muito menos sagaz, em relação à resolução do colega Leonardo, de determinar o item A) do exercício:

[latex]\\\mathrm{Seja\ s:y=mx\ a\ reta\ tangente\ \grave{a}\ circunfer\hat{e}ncia\ (x-2)^2+(y+3)^2=1}\\\\\mathrm{(x-2)^2+(mx+3)^2=1\to (m^2+1)x^2+(6m-4)x+12=0}\\\\\mathrm{\Delta =(6m-4)^2-(4)(m^2+1)(12)=0\to m=-2\pm \frac{2}{\sqrt{3}}\ \therefore \ y=\left ( -2\pm \frac{2}{\sqrt{3}} \right )x}\\\\\mathrm{\left\{\begin{matrix} \mathrm{(x-2)^2+(y+3)^2=1}\\ \mathrm{y=\left ( -2-\frac{2}{\sqrt{3}} \right )x} \end{matrix}\right.\to D\left ( \frac{24-6\sqrt{3}}{13},\frac{-36-4\sqrt{3}}{13} \right )}\\\\\mathrm{|z|_{arg.min}=d_{D,O}=\sqrt{\left ( \frac{24-6\sqrt{3}}{13}-0 \right )^2+\left ( \frac{-36-4\sqrt{3}}{13}-0 \right )^2}=2\sqrt{3}}[/latex]