CIRCUNFERÊNCIA INSCRITA

Na figura, O é o centro da semicircunferência, A, B e T são pontos de tangência e TPB = 90° em P. Sabendo que CT= 4 cm e TD = 12cm , então a medida de PO é: 


R = 2 raiz de 3

Olá, tentei ser o mais didático possível. Como os pontos A,B e T são tangentes, os segmentos CT e CA serão iguais, assim como os segmentos DT e DB.

Fiz a questão dessa forma, usei Pitágoras no triângulo CDW, semelhança nos triângulos CTX e CDW e novamente Pitágoras no triângulo CTW. Depois só fiz R - x, como indicado na figura acima.

Qualquer dúvida, basta chamar.

está todo mundo resolvendo ... que também vou tirar minha casquinha nesta questão.


mas tendo na cabeça a ferramenta que o Raimundo mostrou, o método dele é muitíssimo mais rápido; a única conta necessária é o Pitágoras para achar o raio R, o resto sai de cabeça.

Medeiros, achei interessante sua forma de resolução. Quando posso usar média harmônica em geometria? Quando há trapézios? 

E o que seria essa média geométrica da circunferência? 

Desculpe-me a chuva de perguntas.

1)

Quando posso usar média harmônica em geometria? Quando há trapézios? 

Pode usar neste preciso caso. Note que se você traçar as diagonais AD e BC elas irão se cruzar exatamente sobre o segmento PT; e mais, o dividirão ao meio de tal forma que chamando de q a metade temos:
Esta, inclusive, é uma fórmula importante para a qual o Élcio abriu um tópico com vários exemplos, lá você vai achar respostas para o que ainda nem perguntou; vide

Neste exercíco achei interessante executar essa resolução porque o segmento PT é simultâneamente média harmônica entre AC e BD e é média geométrica dos segmentos AP e PB no qual ele quebra o diâmetro. Se abaixamos uma das colunas, AC ou BD, para manter a tangente CD a outra coluna deve subir, o ponto de tangência sobre a semicircunferência muda de lugar, e o segmento PT muda de tamanho ... mas continua sendo média harmônica das "colunas" e média geométrica dos pedaços do diâmetro.


2)

E o que seria essa média geométrica da circunferência?

Na realidade é média geométrica na semicircunferência e é facilmente deduzida a partir das relações métricas do triângulo retângulo.
Ela diz que se um ponto P divide um diâmetro AB e a partir dele levantamos uma perpendicular até a semicircunferência em T, então o segmento PT é média geométrica dos pedaços em que o diâmetro ficou dividido. Neste caso

Excelente! 

Com certeza levar essa sacada de média harmônica para a prova pode facilitar muito. E vendo essa questão do trapézio acabei lembrando até do conceito de mediana de Euler [MN= (B-b)/2]. 

Obrigado pelas explanações.