Fórmula importante

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Mensagem por Elcioschin em Qua 31 Ago 2016, 21:06

A recorrência de uma importante fórmula na Matemática e na Física

Comumente nos deparamos, ao estudar Matemática e Física, com a seguinte fórmula:

1/x = 1/a1 + 1/a2 + … + 1/an

Certamente muitos profissionais a usam, no dia-a-dia: Engenheiros, Matemáticos, Geólogos, Físicos, Astrônomos, Economistas, Médicos, Professores de Matemática e Física, Eletricistas, Eletrônicos, etc.

Vejamos alguns exemplos:

1) Em Matemática temos o conceito de Média Harmônica: por exemplo, a média harmônica (Mh) de n números a1, a2, ... an é dada por:  

    Mh = n/(1/a1 + 1/a2 + … + 1/an)   ou  n/Mh = 1/a1 + 1/a2 + ⋯ + 1/an ou
    1/(Mh/n) = 1/a1 + 1/a2 + … + 1/an


Um exemplo: https://pir2.forumeiros.com/t141962-uninassau-2016


2) Num heptágono regular ABCDEFG temos:  1/AB = 1/AC + 1/AD

    https://pir2.forumeiros.com/t4798-ufjf-1965-heptagono-regular?highlight=Hept%C3%A1gono

3) Na figura da questão abaixo onde AM // BN // PC, temos:  1/CP = 1/AM + 1/BN  

    https://pir2.forumeiros.com/t109293-hungria-1905#380144

4)  Numa questão sobre polígonos regulares:

     https://pir2.forumeiros.com/t120163-poligonos-regulares#418764

5)  Numa questão sobre um triângulo especial:

     https://pir2.forumeiros.com/t120433-baltica-98#419765

6) Numa questão sobre trapézio retângulo:

    https://pir2.forumeiros.com/t124133-trapezio-retangulo#433194

7)  Numa questão sobre séries geométricas, envolvendo parte do cálculo da energia média de uma onda, de acordo com a hipótese de Planck:

....... ................. 1 ........... 1 ...... 1 ........ 1 ...... 1
 ..    e-n.α = ---------  = ----- + ----- + ----- + ----- + .......
......n=0 ......... 1 - e-α ...... e0 ..... eα ... e2.α .... e3.α

8 ) Nos famosos problemas sobre torneiras, por exemplo: uma torneira A enche um tanque num tempo Ta e outra B num tempo Tb; o tempo T para ambas encherem o tanque é dado por:  1/T = 1/Ta + 1/Tb

    E a questão admite variantes, como por exemplo: o dreno do tanque esvazia o tanque num tempo Td; com o tanque cheio e ambas as torneiras e o dreno abertos, o tanque é esvaziado num tempo T dado por: 1/T = 1/Ta + 1/Tb - 1/Td

9 ) Na mecânica, quando um móvel em MRU percorre duas distâncias iguais d, com velocidades médias Va e Vb, a velocidade média final é dada por:

     1/Vm = 1/2.Va + 1/2.Vb  ou  1/(Vm/2) = 1/Va + 1/Vb

10) Na associação de molas em série: 1/keq = 1/k1  + 1/k2 + 1/k3 + ......

11) Na Óptica, temos a Equação de Gauss:  1/f = 1/p + 1/p'

12) Na Eletricidade, para n resistores em paralelo:  1/Re = 1/R1 + 1/R2 + … + 1/Rn

       O mesmo vale para o resistor interno equivalente de geradores em paralelo

13) Na Eletricidade, para n capacitores em série:  1/Ce = 1/C1 + 1/C2 + … + 1/Cn

14) Na Eletricidade, o cálculo do potencial de várias cargas Q num determinado ponto e da energia potencial  elétrica de uma carga q colocada neste ponto:

     U = k.Q1/r1 + k.Q2/r2 + k.Q3/r3 + ..... --->1/(k/U) = 1/(r1/Q1)+ 1/(r2/Q2) + 1/(r3/Q3) .....

     Ep = k.Q1.q/r1 + k.Q2.q/r2 + k.Q3.q/r3 + ..... ---> 1/(k.q/Ep) = 1/(r1/Q1) + 1/(r2/Q2) + 1/(r3/Q3)+ ....

15) Num problema prático sobre grandezas proporcionais:

https://pir2.forumeiros.com/t137294-grandezas-proporcionais#481059

16) Numa questão sobre duas caixas de som:

https://pir2.forumeiros.com/t140555-duas-pilhas-e-uma-caixa-de-som#492508

17) Numa questão sobre carregamento de caminhões: 

https://pir2.forumeiros.com/t15927-resolvidocms-2007-carregando-caminhao

18) Numa questão sobre duas portas em uma boite: 

https://pir2.forumeiros.com/t144246-questao-de-aritmetica#507596

19) Numa questão sobre "Relação do raio do círculo inscrito e os raios dos três círculos ex-inscritos  em um triângulo": a solução está numa mensagem posterior a esta.

20) Numa questão sobre Química: https://pir2.forumeiros.com/t142619-sera-ou

21) Numa questão sobre rendimentos na execução de determinada atividade:

https://pir2.forumeiros.com/t148825-simulado-bernoulli-2018

Artigo com novos itens sugeridos pelos colegas Nina Luizetestraveneca, InocencioHildebrandoCeara, William Honorio

22) Há outro exemplo na Física, também com conceito de massa reduzida. Dois blocos de massas M1 e M2 unidos por uma única mola descrevendo um MHS pode ser tratado como um sistema único de massa reduzida dada por:

(1/Mreduzida)=(1/M1)+(1/M2).

23) Na Geometria Euclidiana. Expressão que nos fornece o valor da altura relativa à hipotenusa num triângulo retângulo: (1/h² )= (1/b²) + (1/c²) em que b e c são os catetos.

24) Na Óptica, a fórmula para calcular a vergência de n lentes justapostas: (1/feq) = (1/f1) + (1/f2) +...+ (1/fn)

25) Numa questão de Geometria Plana, sobre dois muros abalados por um terremoto:

https://pir2.forumeiros.com/t16012-semelhanca-de-triangulos-e-teorema-de-tales#526504

26) Numa questão de Máquinas com capacidades diferentes: http://pir2.forumeiros.com/t159088-algebra#557620

27) Numa questão sobre produtividade de trabalhadores:
http://pir2.forumeiros.com/t162189-unifor-2014-q2-razao-e-proporcao#568202

Certamente o presente artigo poderá ser enriquecido com outros exemplos. Contribuam.


Última edição por Elcioschin em Ter 27 Ago 2019, 11:28, editado 21 vez(es)
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Mensagem por Nina Luizet em Sab 17 Set 2016, 10:51

Não sei se enquadra:
Fórmula importante 2agq144

E as fórmulas para os resistores e capacitores também são aplicadas para os geradores associados :

Fórmula importante 2q3vdl4
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Mensagem por estraveneca em Sab 17 Set 2016, 21:56

Associação de molas em série:

1/keq = 1/k1 + 1/k2...
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Mensagem por Elcioschin em Seg 19 Set 2016, 21:35

Nina Luizet e extraveneca

Tanto o caso dos geradores em paralelo quanto o das molas em série se enquadram.

O caso da energia potencial elétrica resultante de cargas diferentes não se enquadra porque não dá para se ter o numerador 1 em todas as parcelas. 

Já o potencial elétrico resultante, num ponto P, devido a várias cargas elétricas iguais, situadas à distâncias diferentes do ponto, se enquadra:

Ur = k.Q/r1 + k.Q/r2 = k.Q/r3 + ......

1/(kQ/Ur) = 1/r1 + 1/r2 = 1/r3 + ......

Obrigado pelas contribuições. Enriqueceram o tópico.
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Mensagem por Elcioschin em Qua 21 Set 2016, 16:34

Pessoal

Hoje, 21/09/2016, para minha surpresa, foi postada uma questão de Geometria Plana que se encaixa nesta fórmula:

https://pir2.forumeiros.com/t119480-canada-demonstracao-raio-do-circulo#415984a
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Mensagem por Convidado em Qua 21 Set 2016, 21:11

Em séries geométricas também?

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Mensagem por Convidado em Qua 21 Set 2016, 21:20

Fórmula importante ERT_43 
Parte do cálculo da energia média de uma onda de acordo com a hipótese de Planck.

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Mensagem por Elcioschin em Sab 01 Out 2016, 19:47

Inocencio

Acho que sim, pois, a fórmula poderia ser colocada assim:

e0 + e-α + e-2α + ...... = 1/(1 - e-α)

Invertendo, temos:

1/(1 - e-α) = 1/1 + 1/eα + 1/e2α + ....


Última edição por Elcioschin em Seg 10 Out 2016, 12:22, editado 1 vez(es)
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Mensagem por Elcioschin em Qua 05 Out 2016, 12:23

Nova surpresa: uma nova questão de Geometria Plana, postada hoje, 05/10/2016, encaixa-se perfeitamente na fórmula;

https://pir2.forumeiros.com/t120163-poligonos-regulares#418764
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Mensagem por Elcioschin em Dom 09 Out 2016, 19:30

Novíssima surpresa, hoje 09/10/2016: mais uma questão de geometria que atende à fórmula:

https://pir2.forumeiros.com/t120433-baltica-98#419765
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Mensagem por Elcioschin em Qua 14 Dez 2016, 08:13

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Mensagem por Willian Honorio em Sab 29 Jul 2017, 20:26

Outra, semelhante ao problema do raio postado. Relação do raio do círculo inscrito e os raios dos círculos exinscritos a um triângulo:

1/r=1/ra+1/rb+1/rc

No momento estou no fórum pelo celular, quando estiver pelo computador eu demonstro aqui.
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Mensagem por Elcioschin em Dom 30 Jul 2017, 18:34

Excelente William, estamos aguardando!
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Mensagem por Elcioschin em Sex 18 Ago 2017, 15:28

Hoje, 18/08/2017, foi postada uma nova questão resolvível pela fórmula em questão:

https://pir2.forumeiros.com/t137294-grandezas-proporcionais#481059

Assim que receber a informação do colega William, posto ambas na mensagem original.
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Mensagem por Willian Honorio em Dom 20 Ago 2017, 20:49

@Willian Honorio escreveu:Outra, semelhante ao problema do raio postado. Relação do raio do círculo inscrito e os raios dos círculos exinscritos a um triângulo:

1/r=1/ra+1/rb+1/rc

No momento estou no fórum pelo celular, quando estiver pelo computador eu demonstro aqui.

Seja o triângulo ABC da figura:

Fórmula importante Relayy10

Onde ''Eia'', ''Eib'', ''Eic'' são os exinscentros desse triângulo. Relativamente ao exincentro de A, é fácil perceber que a área do triângulo ABC é dada por:



Relativamente a B:



E analogamente a C tem-se:


Dessas relações:



Ainda outra: 

Podemos também calcular o raio do círculo inscrito em função das alturas relativas aos lados do triângulo ABC:




 
Expressões como essas são muito comuns nas ciências exatas.
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