Velocidade do centro de massa

Uma esfera homogênea de massa 4,3kg e raio 18,2 cm é abandonada do repouso sobre um ponto em uma rampa inclinada. O ângulo da rampa com a horizontal vale 34°. Supõe se que a esfera rola sem deslizar durante o movimento que se segue ao abandono. Encontre a velocidade do centro de massa da esfera depois dele ter descido uma altura h= 3,4m da posição original. g = 10m/s2

Olá , eu cheguei em duas formas de fazer essa questão (que no geral são a mesma coisa), uma conservando a energia mecânica do sistema, e outra encontrando a aceleração do centro de massa. Deixarei as duas aqui:


Primeiramente cabe lembrar que o momento de inércia de uma esfera é: [latex]I_{cm}=\frac{2}{5}*MR^2[/latex]
 Agora, conservando energia:
 
[latex]E_{pot_{f}}+E_{K_{f}}=E_{pot_{i}}+E_{K_{i}}\\0+\frac{Mv_{cm}^2}{2}+\frac{I_{cm}*v_{cm}^2}{2*R^2}=Mgh\\\\0+\frac{Mv_{cm}^2}{2}+\frac{\frac{2}{5}*MR^2*v_{cm}^2}{2*R^2}=Mgh\\\\\therefore v_{cm}=\sqrt{\frac{10gh}{7}}[/latex]

Agora, para a outra solução, precisamos encontrar o valor dessa Fat (faremos usando o fato de que o torque resultante é igual ao momento inercial vezes a aceleração angular (momento angular)) e em seguida achamos a aceleração resultante. No final, usaremos a equação de Torricelli. Vejamos:

[latex]I_{cm}*\alpha =F_{at}*R\rightarrow I_{cm}*\frac{a_{cm}}{R} =F_{at}*R\rightarrow F_{at}=\frac{2}{5}*M*a_{cm}\\M*a_{cm}=Mgsen(\theta )-F_{at}=Mgsen(\theta)-\frac{2}{5}*M*a_{cm}\\\\\therefore (isolando\;a_{cm})\;\;a_{cm}=\frac{5gsen(\theta)}{7}\\Torricelli:\;\;v_{cm}^2=2.a_{cm}.d\;\Rightarrow v_{cm}=\sqrt{2.\frac{5gsen(\theta)}{7}.\frac{h}{sen(\theta)}}=\sqrt{\frac{10gh}{7}}[/latex]

   Acredito que seja isso  .

 Obs.: A presença do momento angular ocorre porque existe a Força de atrito (responsável pelo rolamento), faz um torque que gera rotação. Assim, foi usado o conceito de energia cinética de rotação: [latex]E_{k_{Rot}}=\frac{I*\omega ^2}{2}[/latex]